Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63583 / 63637
↖ ↑ ↗
← N  5.208570°
W  5.364074°		 ← 304.10 m → N  5.208570°
W  5.361328°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.205835°
W  5.364074°		 ← 304.10 m →
92 493 m²		 N  5.205835°
W  5.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485103607177734 y=0.485515594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485103607177734 × 217)
    floor (0.485103607177734 × 131072)
    floor (63583.5)     		tx = 63583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485515594482422 × 217)
    floor (0.485515594482422 × 131072)
    floor (63637.5)     		ty = 63637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63583 / 63637 ti = "17/63583/63637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63583/63637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63583 ÷ 217
    63583 ÷ 131072     		x = 0.485099792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63637 ÷ 217
    63637 ÷ 131072     		y = 0.485511779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485099792480469 × 2 - 1) × π
    -0.0298004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09362076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485511779785156 × 2 - 1) × π
    0.0289764404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0910321723784866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09362076} λ = -0.09362076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0910321723784866))-π/2
    2×atan(1.09530424323429)-π/2
    2×0.830851515298935-π/2
    1.66170303059787-1.57079632675     		φ = 0.09090670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09362076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.364074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09090670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.208570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63583 KachelY 63637 -0.09362076 0.09090670 -5.364074 5.208570
    Oben rechts KachelX + 1 63584 KachelY 63637 -0.09357283 0.09090670 -5.361328 5.208570
    Unten links KachelX 63583 KachelY + 1 63638 -0.09362076 0.09085896 -5.364074 5.205835
    Unten rechts KachelX + 1 63584 KachelY + 1 63638 -0.09357283 0.09085896 -5.361328 5.205835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09090670-0.09085896) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dl = 304.15153999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09090670-0.09085896) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dr = 304.15153999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09362076--0.09357283) × cos(0.09090670) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995870830753824 × 6371000     		do = 304.101138496784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09362076--0.09357283) × cos(0.09085896) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995875163529812 × 6371000     		du = 304.102461562055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09090670)-sin(0.09085896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995870830753824-0.995875163529812)×R²
    abs(-0.09357283--0.09362076)×4.33277598754778e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.33277598754778e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.33277598754778e-06×40589641000000     		ar = 92493.0308132566m²