Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63582 / 63628
↖ ↑ ↗
← N  5.233187°
W  5.366821°		 ← 304.15 m → N  5.233187°
W  5.364074°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.230452°
W  5.366821°		 ← 304.15 m →
92 509 m²		 N  5.230452°
W  5.364074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485095977783203 y=0.485446929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485095977783203 × 217)
    floor (0.485095977783203 × 131072)
    floor (63582.5)     		tx = 63582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485446929931641 × 217)
    floor (0.485446929931641 × 131072)
    floor (63628.5)     		ty = 63628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63582 / 63628 ti = "17/63582/63628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63582/63628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63582 ÷ 217
    63582 ÷ 131072     		x = 0.485092163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63628 ÷ 217
    63628 ÷ 131072     		y = 0.485443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485092163085938 × 2 - 1) × π
    -0.029815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09366870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485443115234375 × 2 - 1) × π
    0.02911376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0914636044750671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09366870} λ = -0.09366870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0914636044750671))-π/2
    2×atan(1.09577689459149)-π/2
    2×0.831066336405592-π/2
    1.66213267281118-1.57079632675     		φ = 0.09133635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09366870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.366821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09133635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.233187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63582 KachelY 63628 -0.09366870 0.09133635 -5.366821 5.233187
    Oben rechts KachelX + 1 63583 KachelY 63628 -0.09362076 0.09133635 -5.364074 5.233187
    Unten links KachelX 63582 KachelY + 1 63629 -0.09366870 0.09128861 -5.366821 5.230452
    Unten rechts KachelX + 1 63583 KachelY + 1 63629 -0.09362076 0.09128861 -5.364074 5.230452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09133635-0.09128861) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dl = 304.15153999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09133635-0.09128861) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dr = 304.15153999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09366870--0.09362076) × cos(0.09133635) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995831734546862 × 6371000     		do = 304.152644439435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09366870--0.09362076) × cos(0.09128861) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995836087749289 × 6371000     		du = 304.153974019508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09133635)-sin(0.09128861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995831734546862-0.995836087749289)×R²
    abs(-0.09362076--0.09366870)×4.35320242708759e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.35320242708759e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.35320242708759e-06×40589641000000     		ar = 92508.6974157816m²