Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63580 / 63604
↖ ↑ ↗
← N  5.298827°
W  5.372315°		 ← 304.12 m → N  5.298827°
W  5.369568°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.296092°
W  5.372315°		 ← 304.12 m →
92 499 m²		 N  5.296092°
W  5.369568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485080718994141 y=0.485263824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485080718994141 × 217)
    floor (0.485080718994141 × 131072)
    floor (63580.5)     		tx = 63580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485263824462891 × 217)
    floor (0.485263824462891 × 131072)
    floor (63604.5)     		ty = 63604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63580 / 63604 ti = "17/63580/63604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63580/63604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63580 ÷ 217
    63580 ÷ 131072     		x = 0.485076904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63604 ÷ 217
    63604 ÷ 131072     		y = 0.485260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485076904296875 × 2 - 1) × π
    -0.02984619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09376458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485260009765625 × 2 - 1) × π
    0.02947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0926140900659485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09376458} λ = -0.09376458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0926140900659485))-π/2
    2×atan(1.09703829559224)-π/2
    2×0.831639151256541-π/2
    1.66327830251308-1.57079632675     		φ = 0.09248198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09376458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.372315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09248198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.298827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63580 KachelY 63604 -0.09376458 0.09248198 -5.372315 5.298827
    Oben rechts KachelX + 1 63581 KachelY 63604 -0.09371664 0.09248198 -5.369568 5.298827
    Unten links KachelX 63580 KachelY + 1 63605 -0.09376458 0.09243424 -5.372315 5.296092
    Unten rechts KachelX + 1 63581 KachelY + 1 63605 -0.09371664 0.09243424 -5.369568 5.296092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09248198-0.09243424) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dl = 304.151540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09248198-0.09243424) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dr = 304.151540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09376458--0.09371664) × cos(0.09248198) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995726588834741 × 6371000     		do = 304.120530232503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09376458--0.09371664) × cos(0.09243424) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995730996498823 × 6371000     		du = 304.121876446567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09248198)-sin(0.09243424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995726588834741-0.995730996498823)×R²
    abs(-0.09371664--0.09376458)×4.40766408138504e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.40766408138504e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.40766408138504e-06×40589641000000     		ar = 92498.9323599355m²