Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63579 / 63609
↖ ↑ ↗
← N  5.285152°
W  5.375061°		 ← 304.06 m → N  5.285152°
W  5.372315°		 →
↑
304.09 m
↓
↑
304.09 m
↓
N  5.282418°
W  5.375061°		 ← 304.07 m →
92 462 m²		 N  5.282418°
W  5.372315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485073089599609 y=0.485301971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485073089599609 × 217)
    floor (0.485073089599609 × 131072)
    floor (63579.5)     		tx = 63579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485301971435547 × 217)
    floor (0.485301971435547 × 131072)
    floor (63609.5)     		ty = 63609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63579 / 63609 ti = "17/63579/63609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63579/63609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63579 ÷ 217
    63579 ÷ 131072     		x = 0.485069274902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63609 ÷ 217
    63609 ÷ 131072     		y = 0.485298156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485069274902344 × 2 - 1) × π
    -0.0298614501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09381251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485298156738281 × 2 - 1) × π
    0.0294036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0923744055678482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09381251} λ = -0.09381251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0923744055678482))-π/2
    2×atan(1.09677538402814)-π/2
    2×0.831519819823091-π/2
    1.66303963964618-1.57079632675     		φ = 0.09224331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09381251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.375061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09224331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.285152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63579 KachelY 63609 -0.09381251 0.09224331 -5.375061 5.285152
    Oben rechts KachelX + 1 63580 KachelY 63609 -0.09376458 0.09224331 -5.372315 5.285152
    Unten links KachelX 63579 KachelY + 1 63610 -0.09381251 0.09219558 -5.375061 5.282418
    Unten rechts KachelX + 1 63580 KachelY + 1 63610 -0.09376458 0.09219558 -5.372315 5.282418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09224331-0.09219558) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dl = 304.087829999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09224331-0.09219558) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dr = 304.087829999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09381251--0.09376458) × cos(0.09224331) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995748601697891 × 6371000     		do = 304.063814384139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09381251--0.09376458) × cos(0.09219558) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995752997095757 × 6371000     		du = 304.065156571755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09224331)-sin(0.09219558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995748601697891-0.995752997095757)×R²
    abs(-0.09376458--0.09381251)×4.3953978665634e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.3953978665634e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.3953978665634e-06×40589641000000     		ar = 92462.3095866212m²