Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63577 / 63716
↖ ↑ ↗
← N  4.992450°
W  5.380554°		 ← 304.27 m → N  4.992450°
W  5.377808°		 →
↑
304.28 m
↓
↑
304.28 m
↓
N  4.989714°
W  5.380554°		 ← 304.27 m →
92 582 m²		 N  4.989714°
W  5.377808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485057830810547 y=0.486118316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485057830810547 × 217)
    floor (0.485057830810547 × 131072)
    floor (63577.5)     		tx = 63577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.486118316650391 × 217)
    floor (0.486118316650391 × 131072)
    floor (63716.5)     		ty = 63716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63577 / 63716 ti = "17/63577/63716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63577/63716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63577 ÷ 217
    63577 ÷ 131072     		x = 0.485054016113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63716 ÷ 217
    63716 ÷ 131072     		y = 0.486114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485054016113281 × 2 - 1) × π
    -0.0298919677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09390839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.486114501953125 × 2 - 1) × π
    0.02777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0872451573085022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09390839} λ = -0.09390839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0872451573085022))-π/2
    2×atan(1.0911641537974)-π/2
    2×0.828965506671032-π/2
    1.65793101334206-1.57079632675     		φ = 0.08713469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09390839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.380554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08713469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.992450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63577 KachelY 63716 -0.09390839 0.08713469 -5.380554 4.992450
    Oben rechts KachelX + 1 63578 KachelY 63716 -0.09386045 0.08713469 -5.377808 4.992450
    Unten links KachelX 63577 KachelY + 1 63717 -0.09390839 0.08708693 -5.380554 4.989714
    Unten rechts KachelX + 1 63578 KachelY + 1 63717 -0.09386045 0.08708693 -5.377808 4.989714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08713469-0.08708693) × R
    4.77599999999939e-05 × 6371000     		dl = 304.278959999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08713469-0.08708693) × R
    4.77599999999939e-05 × 6371000     		dr = 304.278959999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09390839--0.09386045) × cos(0.08713469) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996206174181543 × 6371000     		do = 304.267007941943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09390839--0.09386045) × cos(0.08708693) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996210329334086 × 6371000     		du = 304.268277032484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08713469)-sin(0.08708693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996206174181543-0.996210329334086)×R²
    abs(-0.09386045--0.09390839)×4.15515254315046e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.15515254315046e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.15515254315046e-06×40589641000000     		ar = 92582.2418352584m²