Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63575 / 63561
↖ ↑ ↗
← N  5.416414°
W  5.386047°		 ← 304.06 m → N  5.416414°
W  5.383301°		 →
↑
304.09 m
↓
↑
304.09 m
↓
N  5.413679°
W  5.386047°		 ← 304.06 m →
92 462 m²		 N  5.413679°
W  5.383301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485042572021484 y=0.484935760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485042572021484 × 217)
    floor (0.485042572021484 × 131072)
    floor (63575.5)     		tx = 63575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484935760498047 × 217)
    floor (0.484935760498047 × 131072)
    floor (63561.5)     		ty = 63561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63575 / 63561 ti = "17/63575/63561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63575/63561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63575 ÷ 217
    63575 ÷ 131072     		x = 0.485038757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63561 ÷ 217
    63561 ÷ 131072     		y = 0.484931945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485038757324219 × 2 - 1) × π
    -0.0299224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09400426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484931945800781 × 2 - 1) × π
    0.0301361083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0946753767496109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09400426} λ = -0.09400426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0946753767496109))-π/2
    2×atan(1.09930193822913)-π/2
    2×0.832665291844303-π/2
    1.66533058368861-1.57079632675     		φ = 0.09453426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09400426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.386047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09453426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.416414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63575 KachelY 63561 -0.09400426 0.09453426 -5.386047 5.416414
    Oben rechts KachelX + 1 63576 KachelY 63561 -0.09395632 0.09453426 -5.383301 5.416414
    Unten links KachelX 63575 KachelY + 1 63562 -0.09400426 0.09448653 -5.386047 5.413679
    Unten rechts KachelX + 1 63576 KachelY + 1 63562 -0.09395632 0.09448653 -5.383301 5.413679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09453426-0.09448653) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dl = 304.087829999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09453426-0.09448653) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dr = 304.087829999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09400426--0.09395632) × cos(0.09453426) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99553496356354 × 6371000     		do = 304.062002942332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09400426--0.09395632) × cos(0.09448653) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995539467832183 × 6371000     		du = 304.063378661915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09453426)-sin(0.09448653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99553496356354-0.995539467832183)×R²
    abs(-0.09395632--0.09400426)×4.50426864273545e-06×R²
    4.79400000000102e-05×4.50426864273545e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.50426864273545e-06×40589641000000     		ar = 92461.7638475289m²