Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63573 / 63703
↖ ↑ ↗
← N  5.028019°
W  5.391540°		 ← 304.19 m → N  5.028019°
W  5.388794°		 →
↑
304.28 m
↓
↑
304.28 m
↓
N  5.025283°
W  5.391540°		 ← 304.19 m →
92 558 m²		 N  5.025283°
W  5.388794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485027313232422 y=0.486019134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485027313232422 × 217)
    floor (0.485027313232422 × 131072)
    floor (63573.5)     		tx = 63573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.486019134521484 × 217)
    floor (0.486019134521484 × 131072)
    floor (63703.5)     		ty = 63703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63573 / 63703 ti = "17/63573/63703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63573/63703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63573 ÷ 217
    63573 ÷ 131072     		x = 0.485023498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63703 ÷ 217
    63703 ÷ 131072     		y = 0.486015319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485023498535156 × 2 - 1) × π
    -0.0299530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09410013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.486015319824219 × 2 - 1) × π
    0.0279693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0878683370035629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09410013} λ = -0.09410013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0878683370035629))-π/2
    2×atan(1.09184435706445)-π/2
    2×0.829275905964265-π/2
    1.65855181192853-1.57079632675     		φ = 0.08775549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09410013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.391540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08775549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.028019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63573 KachelY 63703 -0.09410013 0.08775549 -5.391540 5.028019
    Oben rechts KachelX + 1 63574 KachelY 63703 -0.09405220 0.08775549 -5.388794 5.028019
    Unten links KachelX 63573 KachelY + 1 63704 -0.09410013 0.08770773 -5.391540 5.025283
    Unten rechts KachelX + 1 63574 KachelY + 1 63704 -0.09405220 0.08770773 -5.388794 5.025283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08775549-0.08770773) × R
    4.77600000000078e-05 × 6371000     		dl = 304.27896000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08775549-0.08770773) × R
    4.77600000000078e-05 × 6371000     		dr = 304.27896000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09410013--0.09405220) × cos(0.08775549) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.996151957428267 × 6371000     		do = 304.186983908779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09410013--0.09405220) × cos(0.08770773) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.996156142116992 × 6371000     		du = 304.188261753823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08775549)-sin(0.08770773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996151957428267-0.996156142116992)×R²
    abs(-0.09405220--0.09410013)×4.18468872553923e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.18468872553923e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.18468872553923e-06×40589641000000     		ar = 92557.8935375856m²