Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63573 / 63598
↖ ↑ ↗
← N  5.315236°
W  5.391540°		 ← 304.05 m → N  5.315236°
W  5.388794°		 →
↑
304.09 m
↓
↑
304.09 m
↓
N  5.312501°
W  5.391540°		 ← 304.05 m →
92 458 m²		 N  5.312501°
W  5.388794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485027313232422 y=0.485218048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485027313232422 × 217)
    floor (0.485027313232422 × 131072)
    floor (63573.5)     		tx = 63573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485218048095703 × 217)
    floor (0.485218048095703 × 131072)
    floor (63598.5)     		ty = 63598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63573 / 63598 ti = "17/63573/63598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63573/63598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63573 ÷ 217
    63573 ÷ 131072     		x = 0.485023498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63598 ÷ 217
    63598 ÷ 131072     		y = 0.485214233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485023498535156 × 2 - 1) × π
    -0.0299530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09410013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485214233398438 × 2 - 1) × π
    0.029571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0929017114636688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09410013} λ = -0.09410013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0929017114636688))-π/2
    2×atan(1.09735387266136)-π/2
    2×0.831782345489491-π/2
    1.66356469097898-1.57079632675     		φ = 0.09276836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09410013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.391540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09276836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.315236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63573 KachelY 63598 -0.09410013 0.09276836 -5.391540 5.315236
    Oben rechts KachelX + 1 63574 KachelY 63598 -0.09405220 0.09276836 -5.388794 5.315236
    Unten links KachelX 63573 KachelY + 1 63599 -0.09410013 0.09272063 -5.391540 5.312501
    Unten rechts KachelX + 1 63574 KachelY + 1 63599 -0.09405220 0.09272063 -5.388794 5.312501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09276836-0.09272063) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dl = 304.087829999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09276836-0.09272063) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dr = 304.087829999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09410013--0.09405220) × cos(0.09276836) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995700100751999 × 6371000     		do = 304.049004036845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09410013--0.09405220) × cos(0.09272063) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995704521103408 × 6371000     		du = 304.050353844324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09276836)-sin(0.09272063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995700100751999-0.995704521103408)×R²
    abs(-0.09405220--0.09410013)×4.42035140835184e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.42035140835184e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.42035140835184e-06×40589641000000     		ar = 92457.8070987906m²