Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63571 / 63630
↖ ↑ ↗
← N  5.227717°
W  5.397034°		 ← 304.16 m → N  5.227717°
W  5.394287°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.224981°
W  5.397034°		 ← 304.16 m →
92 510 m²		 N  5.224981°
W  5.394287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485012054443359 y=0.485462188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485012054443359 × 217)
    floor (0.485012054443359 × 131072)
    floor (63571.5)     		tx = 63571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485462188720703 × 217)
    floor (0.485462188720703 × 131072)
    floor (63630.5)     		ty = 63630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63571 / 63630 ti = "17/63571/63630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63571/63630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63571 ÷ 217
    63571 ÷ 131072     		x = 0.485008239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63630 ÷ 217
    63630 ÷ 131072     		y = 0.485458374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485008239746094 × 2 - 1) × π
    -0.0299835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09419601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485458374023438 × 2 - 1) × π
    0.029083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.091367730675827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09419601} λ = -0.09419601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.091367730675827))-π/2
    2×atan(1.0956718433334)-π/2
    2×0.831018599111028-π/2
    1.66203719822206-1.57079632675     		φ = 0.09124087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09419601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.397034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09124087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.227717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63571 KachelY 63630 -0.09419601 0.09124087 -5.397034 5.227717
    Oben rechts KachelX + 1 63572 KachelY 63630 -0.09414807 0.09124087 -5.394287 5.227717
    Unten links KachelX 63571 KachelY + 1 63631 -0.09419601 0.09119313 -5.397034 5.224981
    Unten rechts KachelX + 1 63572 KachelY + 1 63631 -0.09414807 0.09119313 -5.394287 5.224981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09124087-0.09119313) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dl = 304.151540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09124087-0.09119313) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dr = 304.151540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09419601--0.09414807) × cos(0.09124087) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995840438682098 × 6371000     		do = 304.155302906381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09419601--0.09414807) × cos(0.09119313) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99584478734528 × 6371000     		du = 304.156631100052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09124087)-sin(0.09119313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995840438682098-0.99584478734528)×R²
    abs(-0.09414807--0.09419601)×4.34866318199667e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.34866318199667e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.34866318199667e-06×40589641000000     		ar = 92509.5057817925m²