Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63570 / 63633
↖ ↑ ↗
← N  5.219511°
W  5.399780°		 ← 304.10 m → N  5.219511°
W  5.397034°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.216776°
W  5.399780°		 ← 304.10 m →
92 491 m²		 N  5.216776°
W  5.397034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485004425048828 y=0.485485076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485004425048828 × 217)
    floor (0.485004425048828 × 131072)
    floor (63570.5)     		tx = 63570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485485076904297 × 217)
    floor (0.485485076904297 × 131072)
    floor (63633.5)     		ty = 63633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63570 / 63633 ti = "17/63570/63633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63570/63633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63570 ÷ 217
    63570 ÷ 131072     		x = 0.485000610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63633 ÷ 217
    63633 ÷ 131072     		y = 0.485481262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485000610351562 × 2 - 1) × π
    -0.029998779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09424394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485481262207031 × 2 - 1) × π
    0.0290374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0912239199769669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09424394} λ = -0.09424394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0912239199769669))-π/2
    2×atan(1.09551428532942)-π/2
    2×0.830946992387424-π/2
    1.66189398477485-1.57079632675     		φ = 0.09109766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09424394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.399780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09109766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.219511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63570 KachelY 63633 -0.09424394 0.09109766 -5.399780 5.219511
    Oben rechts KachelX + 1 63571 KachelY 63633 -0.09419601 0.09109766 -5.397034 5.219511
    Unten links KachelX 63570 KachelY + 1 63634 -0.09424394 0.09104992 -5.399780 5.216776
    Unten rechts KachelX + 1 63571 KachelY + 1 63634 -0.09419601 0.09104992 -5.397034 5.216776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09109766-0.09104992) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dl = 304.15153999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09109766-0.09104992) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dr = 304.15153999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09424394--0.09419601) × cos(0.09109766) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995853476953005 × 6371000     		do = 304.095839304938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09424394--0.09419601) × cos(0.09104992) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99585781880772 × 6371000     		du = 304.097165142508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09109766)-sin(0.09104992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995853476953005-0.99585781880772)×R²
    abs(-0.09419601--0.09424394)×4.34185471531734e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.34185471531734e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.34185471531734e-06×40589641000000     		ar = 92491.4194774924m²