Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63559 / 63545
↖ ↑ ↗
← N  5.460161°
W  5.429993°		 ← 304.04 m → N  5.460161°
W  5.427246°		 →
↑
303.96 m
↓
↑
303.96 m
↓
N  5.457428°
W  5.429993°		 ← 304.04 m →
92 416 m²		 N  5.457428°
W  5.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484920501708984 y=0.484813690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484920501708984 × 217)
    floor (0.484920501708984 × 131072)
    floor (63559.5)     		tx = 63559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484813690185547 × 217)
    floor (0.484813690185547 × 131072)
    floor (63545.5)     		ty = 63545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63559 / 63545 ti = "17/63559/63545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63559/63545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63559 ÷ 217
    63559 ÷ 131072     		x = 0.484916687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63545 ÷ 217
    63545 ÷ 131072     		y = 0.484809875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484916687011719 × 2 - 1) × π
    -0.0301666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09477125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484809875488281 × 2 - 1) × π
    0.0303802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0954423671435318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09477125} λ = -0.09477125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0954423671435318))-π/2
    2×atan(1.10014541568397)-π/2
    2×0.833047060864253-π/2
    1.66609412172851-1.57079632675     		φ = 0.09529779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09477125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.429993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09529779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.460161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63559 KachelY 63545 -0.09477125 0.09529779 -5.429993 5.460161
    Oben rechts KachelX + 1 63560 KachelY 63545 -0.09472331 0.09529779 -5.427246 5.460161
    Unten links KachelX 63559 KachelY + 1 63546 -0.09477125 0.09525008 -5.429993 5.457428
    Unten rechts KachelX + 1 63560 KachelY + 1 63546 -0.09472331 0.09525008 -5.427246 5.457428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09529779-0.09525008) × R
    4.77099999999925e-05 × 6371000     		dl = 303.960409999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09529779-0.09525008) × R
    4.77099999999925e-05 × 6371000     		dr = 303.960409999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09477125--0.09472331) × cos(0.09529779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995462601099905 × 6371000     		do = 304.03990158324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09477125--0.09472331) × cos(0.09525008) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995467139745757 × 6371000     		du = 304.041287802508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09529779)-sin(0.09525008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995462601099905-0.995467139745757)×R²
    abs(-0.09472331--0.09477125)×4.53864585248098e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.53864585248098e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.53864585248098e-06×40589641000000     		ar = 92416.303837016m²