Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63558 / 63560
↖ ↑ ↗
← N  5.419148°
W  5.432739°		 ← 304.06 m → N  5.419148°
W  5.429993°		 →
↑
304.02 m
↓
↑
304.02 m
↓
N  5.416414°
W  5.432739°		 ← 304.06 m →
92 442 m²		 N  5.416414°
W  5.429993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484912872314453 y=0.484928131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484912872314453 × 217)
    floor (0.484912872314453 × 131072)
    floor (63558.5)     		tx = 63558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484928131103516 × 217)
    floor (0.484928131103516 × 131072)
    floor (63560.5)     		ty = 63560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63558 / 63560 ti = "17/63558/63560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63558/63560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63558 ÷ 217
    63558 ÷ 131072     		x = 0.484909057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63560 ÷ 217
    63560 ÷ 131072     		y = 0.48492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484909057617188 × 2 - 1) × π
    -0.030181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09481919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48492431640625 × 2 - 1) × π
    0.0301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.094723313649231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09481919} λ = -0.09481919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.094723313649231))-π/2
    2×atan(1.09935463661888)-π/2
    2×0.832689153220124-π/2
    1.66537830644025-1.57079632675     		φ = 0.09458198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09481919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.432739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09458198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.419148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63558 KachelY 63560 -0.09481919 0.09458198 -5.432739 5.419148
    Oben rechts KachelX + 1 63559 KachelY 63560 -0.09477125 0.09458198 -5.429993 5.419148
    Unten links KachelX 63558 KachelY + 1 63561 -0.09481919 0.09453426 -5.432739 5.416414
    Unten rechts KachelX + 1 63559 KachelY + 1 63561 -0.09477125 0.09453426 -5.429993 5.416414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09458198-0.09453426) × R
    4.77200000000011e-05 × 6371000     		dl = 304.024120000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09458198-0.09453426) × R
    4.77200000000011e-05 × 6371000     		dr = 304.024120000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09481919--0.09477125) × cos(0.09458198) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995530457971326 × 6371000     		do = 304.060626818408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09481919--0.09477125) × cos(0.09453426) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99553496356354 × 6371000     		du = 304.062002942244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09458198)-sin(0.09453426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995530457971326-0.99553496356354)×R²
    abs(-0.09477125--0.09481919)×4.50559221332192e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.50559221332192e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.50559221332192e-06×40589641000000     		ar = 92441.9737000798m²