Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63555 / 63636
↖ ↑ ↗
← N  5.211306°
W  5.440979°		 ← 304.16 m → N  5.211306°
W  5.438232°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.208570°
W  5.440979°		 ← 304.16 m →
92 512 m²		 N  5.208570°
W  5.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484889984130859 y=0.485507965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484889984130859 × 217)
    floor (0.484889984130859 × 131072)
    floor (63555.5)     		tx = 63555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485507965087891 × 217)
    floor (0.485507965087891 × 131072)
    floor (63636.5)     		ty = 63636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63555 / 63636 ti = "17/63555/63636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63555/63636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63555 ÷ 217
    63555 ÷ 131072     		x = 0.484886169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63636 ÷ 217
    63636 ÷ 131072     		y = 0.485504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484886169433594 × 2 - 1) × π
    -0.0302276611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09496300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485504150390625 × 2 - 1) × π
    0.02899169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0910801092781067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09496300} λ = -0.09496300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0910801092781067))-π/2
    2×atan(1.09535674998235)-π/2
    2×0.830875384727005-π/2
    1.66175076945401-1.57079632675     		φ = 0.09095444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09496300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.440979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09095444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.211306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63555 KachelY 63636 -0.09496300 0.09095444 -5.440979 5.211306
    Oben rechts KachelX + 1 63556 KachelY 63636 -0.09491506 0.09095444 -5.438232 5.211306
    Unten links KachelX 63555 KachelY + 1 63637 -0.09496300 0.09090670 -5.440979 5.208570
    Unten rechts KachelX + 1 63556 KachelY + 1 63637 -0.09491506 0.09090670 -5.438232 5.208570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09095444-0.09090670) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dl = 304.151540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09095444-0.09090670) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dr = 304.151540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09496300--0.09491506) × cos(0.09095444) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99586649570814 × 6371000     		do = 304.16326139293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09496300--0.09491506) × cos(0.09090670) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995870830753824 × 6371000     		du = 304.164585427466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09095444)-sin(0.09090670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99586649570814-0.995870830753824)×R²
    abs(-0.09491506--0.09496300)×4.33504568442267e-06×R²
    4.79400000000102e-05×4.33504568442267e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.33504568442267e-06×40589641000000     		ar = 92511.9257352291m²