Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63554 / 63684
↖ ↑ ↗
← N  5.080001°
W  5.443726°		 ← 304.23 m → N  5.080001°
W  5.440979°		 →
↑
304.22 m
↓
↑
304.22 m
↓
N  5.077266°
W  5.443726°		 ← 304.23 m →
92 550 m²		 N  5.077266°
W  5.440979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484882354736328 y=0.485874176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484882354736328 × 217)
    floor (0.484882354736328 × 131072)
    floor (63554.5)     		tx = 63554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485874176025391 × 217)
    floor (0.485874176025391 × 131072)
    floor (63684.5)     		ty = 63684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63554 / 63684 ti = "17/63554/63684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63554/63684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63554 ÷ 217
    63554 ÷ 131072     		x = 0.484878540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63684 ÷ 217
    63684 ÷ 131072     		y = 0.485870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484878540039062 × 2 - 1) × π
    -0.030242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09501094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485870361328125 × 2 - 1) × π
    0.02825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.088779138096344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09501094} λ = -0.09501094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.088779138096344))-π/2
    2×atan(1.09283926310999)-π/2
    2×0.829729535942121-π/2
    1.65945907188424-1.57079632675     		φ = 0.08866275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09501094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.443726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08866275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.080001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63554 KachelY 63684 -0.09501094 0.08866275 -5.443726 5.080001
    Oben rechts KachelX + 1 63555 KachelY 63684 -0.09496300 0.08866275 -5.440979 5.080001
    Unten links KachelX 63554 KachelY + 1 63685 -0.09501094 0.08861500 -5.443726 5.077266
    Unten rechts KachelX + 1 63555 KachelY + 1 63685 -0.09496300 0.08861500 -5.440979 5.077266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08866275-0.08861500) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dl = 304.215249999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08866275-0.08861500) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dr = 304.215249999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09501094--0.09496300) × cos(0.08866275) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996072032566177 × 6371000     		do = 304.226037639805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09501094--0.09496300) × cos(0.08861500) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996076259532273 × 6371000     		du = 304.227328664053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08866275)-sin(0.08861500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996072032566177-0.996076259532273)×R²
    abs(-0.09496300--0.09501094)×4.22696609636564e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.22696609636564e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.22696609636564e-06×40589641000000     		ar = 92550.3964893354m²