Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63554 / 63638
↖ ↑ ↗
← N  5.205835°
W  5.443726°		 ← 304.17 m → N  5.205835°
W  5.440979°		 →
↑
304.09 m
↓
↑
304.09 m
↓
N  5.203100°
W  5.443726°		 ← 304.17 m →
92 493 m²		 N  5.203100°
W  5.440979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484882354736328 y=0.485523223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484882354736328 × 217)
    floor (0.484882354736328 × 131072)
    floor (63554.5)     		tx = 63554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485523223876953 × 217)
    floor (0.485523223876953 × 131072)
    floor (63638.5)     		ty = 63638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63554 / 63638 ti = "17/63554/63638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63554/63638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63554 ÷ 217
    63554 ÷ 131072     		x = 0.484878540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63638 ÷ 217
    63638 ÷ 131072     		y = 0.485519409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484878540039062 × 2 - 1) × π
    -0.030242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09501094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485519409179688 × 2 - 1) × π
    0.028961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0909842354788666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09501094} λ = -0.09501094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0909842354788666))-π/2
    2×atan(1.09525173900318)-π/2
    2×0.830827645766991-π/2
    1.66165529153398-1.57079632675     		φ = 0.09085896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09501094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.443726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09085896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.205835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63554 KachelY 63638 -0.09501094 0.09085896 -5.443726 5.205835
    Oben rechts KachelX + 1 63555 KachelY 63638 -0.09496300 0.09085896 -5.440979 5.205835
    Unten links KachelX 63554 KachelY + 1 63639 -0.09501094 0.09081123 -5.443726 5.203100
    Unten rechts KachelX + 1 63555 KachelY + 1 63639 -0.09496300 0.09081123 -5.440979 5.203100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09085896-0.09081123) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dl = 304.087829999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09085896-0.09081123) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dr = 304.087829999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09501094--0.09496300) × cos(0.09085896) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995875163529812 × 6371000     		do = 304.16590876869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09501094--0.09496300) × cos(0.09081123) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995879493129228 × 6371000     		du = 304.167231139796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09085896)-sin(0.09081123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995875163529812-0.995879493129228)×R²
    abs(-0.09496300--0.09501094)×4.3295994163195e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.3295994163195e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.3295994163195e-06×40589641000000     		ar = 92493.3522334889m²