Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63552 / 63692
↖ ↑ ↗
← N  5.058114°
W  5.449219°		 ← 304.24 m → N  5.058114°
W  5.446472°		 →
↑
304.22 m
↓
↑
304.22 m
↓
N  5.055379°
W  5.449219°		 ← 304.24 m →
92 554 m²		 N  5.055379°
W  5.446472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484867095947266 y=0.485935211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484867095947266 × 217)
    floor (0.484867095947266 × 131072)
    floor (63552.5)     		tx = 63552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485935211181641 × 217)
    floor (0.485935211181641 × 131072)
    floor (63692.5)     		ty = 63692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63552 / 63692 ti = "17/63552/63692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63552/63692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63552 ÷ 217
    63552 ÷ 131072     		x = 0.48486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63692 ÷ 217
    63692 ÷ 131072     		y = 0.485931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48486328125 × 2 - 1) × π
    -0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485931396484375 × 2 - 1) × π
    0.02813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0883956428993836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09510681} λ = -0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0883956428993836))-π/2
    2×atan(1.09242024485242)-π/2
    2×0.82953853828367-π/2
    1.65907707656734-1.57079632675     		φ = 0.08828075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08828075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.058114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63552 KachelY 63692 -0.09510681 0.08828075 -5.449219 5.058114
    Oben rechts KachelX + 1 63553 KachelY 63692 -0.09505887 0.08828075 -5.446472 5.058114
    Unten links KachelX 63552 KachelY + 1 63693 -0.09510681 0.08823300 -5.449219 5.055379
    Unten rechts KachelX + 1 63553 KachelY + 1 63693 -0.09505887 0.08823300 -5.446472 5.055379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08828075-0.08823300) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dl = 304.215249999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08828075-0.08823300) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dr = 304.215249999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09510681--0.09505887) × cos(0.08828075) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996105784703158 × 6371000     		do = 304.236346411219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09510681--0.09505887) × cos(0.08823300) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996109993500056 × 6371000     		du = 304.237631886126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08828075)-sin(0.08823300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996105784703158-0.996109993500056)×R²
    abs(-0.09505887--0.09510681)×4.20879689799758e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.20879689799758e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.20879689799758e-06×40589641000000     		ar = 92553.5317306742m²