Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63551 / 63679
↖ ↑ ↗
← N  5.093680°
W  5.451966°		 ← 304.22 m → N  5.093680°
W  5.449219°		 →
↑
304.22 m
↓
↑
304.22 m
↓
N  5.090944°
W  5.451966°		 ← 304.22 m →
92 548 m²		 N  5.090944°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484859466552734 y=0.485836029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484859466552734 × 217)
    floor (0.484859466552734 × 131072)
    floor (63551.5)     		tx = 63551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485836029052734 × 217)
    floor (0.485836029052734 × 131072)
    floor (63679.5)     		ty = 63679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63551 / 63679 ti = "17/63551/63679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63551/63679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63551 ÷ 217
    63551 ÷ 131072     		x = 0.484855651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63679 ÷ 217
    63679 ÷ 131072     		y = 0.485832214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484855651855469 × 2 - 1) × π
    -0.0302886962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09515475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485832214355469 × 2 - 1) × π
    0.0283355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0890188225944443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09515475} λ = -0.09515475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0890188225944443))-π/2
    2×atan(1.09310123113385)-π/2
    2×0.829848906186921-π/2
    1.65969781237384-1.57079632675     		φ = 0.08890149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09515475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.451966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08890149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.093680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63551 KachelY 63679 -0.09515475 0.08890149 -5.451966 5.093680
    Oben rechts KachelX + 1 63552 KachelY 63679 -0.09510681 0.08890149 -5.449219 5.093680
    Unten links KachelX 63551 KachelY + 1 63680 -0.09515475 0.08885374 -5.451966 5.090944
    Unten rechts KachelX + 1 63552 KachelY + 1 63680 -0.09510681 0.08885374 -5.449219 5.090944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08890149-0.08885374) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dl = 304.215249999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08890149-0.08885374) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dr = 304.215249999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09515475--0.09510681) × cos(0.08890149) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996050864557135 × 6371000     		do = 304.219572384979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09515475--0.09510681) × cos(0.08885374) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996055102878191 × 6371000     		du = 304.220866877324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08890149)-sin(0.08885374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996050864557135-0.996055102878191)×R²
    abs(-0.09510681--0.09515475)×4.23832105678201e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.23832105678201e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.23832105678201e-06×40589641000000     		ar = 92548.4301877398m²