Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63548 / 63540
↖ ↑ ↗
← N  5.473832°
W  5.460205°		 ← 304.03 m → N  5.473832°
W  5.457459°		 →
↑
304.02 m
↓
↑
304.02 m
↓
N  5.471098°
W  5.460205°		 ← 304.03 m →
92 434 m²		 N  5.471098°
W  5.457459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484836578369141 y=0.484775543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484836578369141 × 217)
    floor (0.484836578369141 × 131072)
    floor (63548.5)     		tx = 63548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484775543212891 × 217)
    floor (0.484775543212891 × 131072)
    floor (63540.5)     		ty = 63540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63548 / 63540 ti = "17/63548/63540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63548/63540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63548 ÷ 217
    63548 ÷ 131072     		x = 0.484832763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63540 ÷ 217
    63540 ÷ 131072     		y = 0.484771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.03033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09529856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484771728515625 × 2 - 1) × π
    0.03045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0956820516416321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09529856} λ = -0.09529856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0956820516416321))-π/2
    2×atan(1.10040913508923)-π/2
    2×0.833166357979625-π/2
    1.66633271595925-1.57079632675     		φ = 0.09553639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09529856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.460205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09553639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.473832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63548 KachelY 63540 -0.09529856 0.09553639 -5.460205 5.473832
    Oben rechts KachelX + 1 63549 KachelY 63540 -0.09525062 0.09553639 -5.457459 5.473832
    Unten links KachelX 63548 KachelY + 1 63541 -0.09529856 0.09548867 -5.460205 5.471098
    Unten rechts KachelX + 1 63549 KachelY + 1 63541 -0.09525062 0.09548867 -5.457459 5.471098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09553639-0.09548867) × R
    4.77200000000011e-05 × 6371000     		dl = 304.024120000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09553639-0.09548867) × R
    4.77200000000011e-05 × 6371000     		dr = 304.024120000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09529856--0.09525062) × cos(0.09553639) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995439869112556 × 6371000     		do = 304.03295864927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09529856--0.09525062) × cos(0.09548867) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995444420043695 × 6371000     		du = 304.034348620781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09553639)-sin(0.09548867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995439869112556-0.995444420043695)×R²
    abs(-0.09525062--0.09529856)×4.55093113926885e-06×R²
    4.79400000000102e-05×4.55093113926885e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.55093113926885e-06×40589641000000     		ar = 92433.5640143153m²