Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63546 / 63696
↖ ↑ ↗
← N  5.047171°
W  5.465698°		 ← 304.24 m → N  5.047171°
W  5.462951°		 →
↑
304.22 m
↓
↑
304.22 m
↓
N  5.044435°
W  5.465698°		 ← 304.24 m →
92 555 m²		 N  5.044435°
W  5.462951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484821319580078 y=0.485965728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484821319580078 × 217)
    floor (0.484821319580078 × 131072)
    floor (63546.5)     		tx = 63546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485965728759766 × 217)
    floor (0.485965728759766 × 131072)
    floor (63696.5)     		ty = 63696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63546 / 63696 ti = "17/63546/63696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63546/63696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63546 ÷ 217
    63546 ÷ 131072     		x = 0.484817504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63696 ÷ 217
    63696 ÷ 131072     		y = 0.4859619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484817504882812 × 2 - 1) × π
    -0.030364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09539443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4859619140625 × 2 - 1) × π
    0.028076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0882038953009033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09539443} λ = -0.09539443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0882038953009033))-π/2
    2×atan(1.09221079597524)-π/2
    2×0.829443037030972-π/2
    1.65888607406194-1.57079632675     		φ = 0.08808975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09539443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.465698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08808975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.047171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63546 KachelY 63696 -0.09539443 0.08808975 -5.465698 5.047171
    Oben rechts KachelX + 1 63547 KachelY 63696 -0.09534649 0.08808975 -5.462951 5.047171
    Unten links KachelX 63546 KachelY + 1 63697 -0.09539443 0.08804200 -5.465698 5.044435
    Unten rechts KachelX + 1 63547 KachelY + 1 63697 -0.09534649 0.08804200 -5.462951 5.044435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08808975-0.08804200) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dl = 304.215249999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08808975-0.08804200) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dr = 304.215249999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09539443--0.09534649) × cos(0.08808975) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996122606263553 × 6371000     		do = 304.241484148751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09539443--0.09534649) × cos(0.08804200) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996126805975621 × 6371000     		du = 304.242766848917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08808975)-sin(0.08804200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996122606263553-0.996126805975621)×R²
    abs(-0.09534649--0.09539443)×4.19971206833125e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.19971206833125e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.19971206833125e-06×40589641000000     		ar = 92555.0942867346m²