Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63545 / 63657
↖ ↑ ↗
← N  5.153863°
W  5.468445°		 ← 304.19 m → N  5.153863°
W  5.465698°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.151128°
W  5.468445°		 ← 304.19 m →
92 520 m²		 N  5.151128°
W  5.465698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484813690185547 y=0.485668182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484813690185547 × 217)
    floor (0.484813690185547 × 131072)
    floor (63545.5)     		tx = 63545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485668182373047 × 217)
    floor (0.485668182373047 × 131072)
    floor (63657.5)     		ty = 63657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63545 / 63657 ti = "17/63545/63657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63545/63657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63545 ÷ 217
    63545 ÷ 131072     		x = 0.484809875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63657 ÷ 217
    63657 ÷ 131072     		y = 0.485664367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484809875488281 × 2 - 1) × π
    -0.0303802490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09544237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485664367675781 × 2 - 1) × π
    0.0286712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0900734343860855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09544237} λ = -0.09544237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0900734343860855))-π/2
    2×atan(1.0942546366723)-π/2
    2×0.83037410499558-π/2
    1.66074820999116-1.57079632675     		φ = 0.08995188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09544237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.468445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08995188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.153863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63545 KachelY 63657 -0.09544237 0.08995188 -5.468445 5.153863
    Oben rechts KachelX + 1 63546 KachelY 63657 -0.09539443 0.08995188 -5.465698 5.153863
    Unten links KachelX 63545 KachelY + 1 63658 -0.09544237 0.08990414 -5.468445 5.151128
    Unten rechts KachelX + 1 63546 KachelY + 1 63658 -0.09539443 0.08990414 -5.465698 5.151128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08995188-0.08990414) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dl = 304.151540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08995188-0.08990414) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dr = 304.151540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09544237--0.09539443) × cos(0.08995188) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995957056814699 × 6371000     		do = 304.190921085828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09544237--0.09539443) × cos(0.08990414) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995961344193733 × 6371000     		du = 304.192230561742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08995188)-sin(0.08990414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995957056814699-0.995961344193733)×R²
    abs(-0.09539443--0.09544237)×4.28737903424015e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.28737903424015e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.28737903424015e-06×40589641000000     		ar = 92520.3362593971m²