Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63543 / 63698
↖ ↑ ↗
← N  5.041699°
W  5.473938°		 ← 304.24 m → N  5.041699°
W  5.471191°		 →
↑
304.22 m
↓
↑
304.22 m
↓
N  5.038963°
W  5.473938°		 ← 304.25 m →
92 556 m²		 N  5.038963°
W  5.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484798431396484 y=0.485980987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484798431396484 × 217)
    floor (0.484798431396484 × 131072)
    floor (63543.5)     		tx = 63543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485980987548828 × 217)
    floor (0.485980987548828 × 131072)
    floor (63698.5)     		ty = 63698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63543 / 63698 ti = "17/63543/63698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63543/63698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63543 ÷ 217
    63543 ÷ 131072     		x = 0.484794616699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63698 ÷ 217
    63698 ÷ 131072     		y = 0.485977172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484794616699219 × 2 - 1) × π
    -0.0304107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09553824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485977172851562 × 2 - 1) × π
    0.028045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0881080215016632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09553824} λ = -0.09553824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0881080215016632))-π/2
    2×atan(1.09210608659618)-π/2
    2×0.829395285800266-π/2
    1.65879057160053-1.57079632675     		φ = 0.08799424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09553824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.473938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08799424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.041699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63543 KachelY 63698 -0.09553824 0.08799424 -5.473938 5.041699
    Oben rechts KachelX + 1 63544 KachelY 63698 -0.09549030 0.08799424 -5.471191 5.041699
    Unten links KachelX 63543 KachelY + 1 63699 -0.09553824 0.08794649 -5.473938 5.038963
    Unten rechts KachelX + 1 63544 KachelY + 1 63699 -0.09549030 0.08794649 -5.471191 5.038963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08799424-0.08794649) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dl = 304.215249999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08799424-0.08794649) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dr = 304.215249999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09553824--0.09549030) × cos(0.08799424) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996131004295266 × 6371000     		do = 304.244049123801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09553824--0.09549030) × cos(0.08794649) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996135199464386 × 6371000     		du = 304.245330436434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08799424)-sin(0.08794649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996131004295266-0.996135199464386)×R²
    abs(-0.09549030--0.09553824)×4.19516912031348e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.19516912031348e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.19516912031348e-06×40589641000000     		ar = 92555.8743802331m²