Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63542 / 63661
↖ ↑ ↗
← N  5.142921°
W  5.476685°		 ← 304.20 m → N  5.142921°
W  5.473938°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.140186°
W  5.476685°		 ← 304.20 m →
92 522 m²		 N  5.140186°
W  5.473938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484790802001953 y=0.485698699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484790802001953 × 217)
    floor (0.484790802001953 × 131072)
    floor (63542.5)     		tx = 63542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485698699951172 × 217)
    floor (0.485698699951172 × 131072)
    floor (63661.5)     		ty = 63661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63542 / 63661 ti = "17/63542/63661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63542/63661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63542 ÷ 217
    63542 ÷ 131072     		x = 0.484786987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63661 ÷ 217
    63661 ÷ 131072     		y = 0.485694885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484786987304688 × 2 - 1) × π
    -0.030426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09558618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485694885253906 × 2 - 1) × π
    0.0286102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0898816867876053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09558618} λ = -0.09558618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0898816867876053))-π/2
    2×atan(1.09404483608862)-π/2
    2×0.830278617986901-π/2
    1.6605572359738-1.57079632675     		φ = 0.08976091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09558618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.476685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08976091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.142921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63542 KachelY 63661 -0.09558618 0.08976091 -5.476685 5.142921
    Oben rechts KachelX + 1 63543 KachelY 63661 -0.09553824 0.08976091 -5.473938 5.142921
    Unten links KachelX 63542 KachelY + 1 63662 -0.09558618 0.08971317 -5.476685 5.140186
    Unten rechts KachelX + 1 63543 KachelY + 1 63662 -0.09553824 0.08971317 -5.473938 5.140186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08976091-0.08971317) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dl = 304.151540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08976091-0.08971317) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dr = 304.151540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09558618--0.09553824) × cos(0.08976091) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995974193607782 × 6371000     		do = 304.196155103625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09558618--0.09553824) × cos(0.08971317) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99597847190667 × 6371000     		du = 304.197461806229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08976091)-sin(0.08971317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995974193607782-0.99597847190667)×R²
    abs(-0.09553824--0.09558618)×4.27829888793863e-06×R²
    4.79400000000102e-05×4.27829888793863e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.27829888793863e-06×40589641000000     		ar = 92521.9277722324m²