Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63540 / 63705
↖ ↑ ↗
← N  5.022547°
W  5.482178°		 ← 304.25 m → N  5.022547°
W  5.479431°		 →
↑
304.22 m
↓
↑
304.22 m
↓
N  5.019811°
W  5.482178°		 ← 304.25 m →
92 559 m²		 N  5.019811°
W  5.479431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484775543212891 y=0.486034393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484775543212891 × 217)
    floor (0.484775543212891 × 131072)
    floor (63540.5)     		tx = 63540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.486034393310547 × 217)
    floor (0.486034393310547 × 131072)
    floor (63705.5)     		ty = 63705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63540 / 63705 ti = "17/63540/63705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63540/63705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63540 ÷ 217
    63540 ÷ 131072     		x = 0.484771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63705 ÷ 217
    63705 ÷ 131072     		y = 0.486030578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.03045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09568205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.486030578613281 × 2 - 1) × π
    0.0279388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0877724632043228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09568205} λ = -0.09568205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0877724632043228))-π/2
    2×atan(1.0917396828156)-π/2
    2×0.829228153327303-π/2
    1.65845630665461-1.57079632675     		φ = 0.08765998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09568205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08765998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.022547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63540 KachelY 63705 -0.09568205 0.08765998 -5.482178 5.022547
    Oben rechts KachelX + 1 63541 KachelY 63705 -0.09563411 0.08765998 -5.479431 5.022547
    Unten links KachelX 63540 KachelY + 1 63706 -0.09568205 0.08761223 -5.482178 5.019811
    Unten rechts KachelX + 1 63541 KachelY + 1 63706 -0.09563411 0.08761223 -5.479431 5.019811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08765998-0.08761223) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dl = 304.215249999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08765998-0.08761223) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dr = 304.215249999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09568205--0.09563411) × cos(0.08765998) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.996160323657991 × 6371000     		do = 304.253004011946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09568205--0.09563411) × cos(0.08761223) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.996164502927681 × 6371000     		du = 304.254280468484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08765998)-sin(0.08761223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996160323657991-0.996164502927681)×R²
    abs(-0.09563411--0.09568205)×4.1792696904297e-06×R²
    4.79400000000102e-05×4.1792696904297e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.1792696904297e-06×40589641000000     		ar = 92558.5978551009m²