Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63537 / 63571
↖ ↑ ↗
← N  5.389070°
W  5.490417°		 ← 304.01 m → N  5.389070°
W  5.487671°		 →
↑
304.09 m
↓
↑
304.09 m
↓
N  5.386336°
W  5.490417°		 ← 304.01 m →
92 447 m²		 N  5.386336°
W  5.487671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484752655029297 y=0.485012054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484752655029297 × 217)
    floor (0.484752655029297 × 131072)
    floor (63537.5)     		tx = 63537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485012054443359 × 217)
    floor (0.485012054443359 × 131072)
    floor (63571.5)     		ty = 63571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63537 / 63571 ti = "17/63537/63571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63537/63571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63537 ÷ 217
    63537 ÷ 131072     		x = 0.484748840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63571 ÷ 217
    63571 ÷ 131072     		y = 0.485008239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484748840332031 × 2 - 1) × π
    -0.0305023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09582586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485008239746094 × 2 - 1) × π
    0.0299835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0941960077534103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09582586} λ = -0.09582586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0941960077534103))-π/2
    2×atan(1.09877509324914)-π/2
    2×0.832426672156558-π/2
    1.66485334431312-1.57079632675     		φ = 0.09405702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09582586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.490417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09405702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.389070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63537 KachelY 63571 -0.09582586 0.09405702 -5.490417 5.389070
    Oben rechts KachelX + 1 63538 KachelY 63571 -0.09577793 0.09405702 -5.487671 5.389070
    Unten links KachelX 63537 KachelY + 1 63572 -0.09582586 0.09400929 -5.490417 5.386336
    Unten rechts KachelX + 1 63538 KachelY + 1 63572 -0.09577793 0.09400929 -5.487671 5.386336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09405702-0.09400929) × R
    4.77300000000097e-05 × 6371000     		dl = 304.087830000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09405702-0.09400929) × R
    4.77300000000097e-05 × 6371000     		dr = 304.087830000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09582586--0.09577793) × cos(0.09405702) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995579898554035 × 6371000     		do = 304.012298849664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09582586--0.09577793) × cos(0.09400929) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995584380145157 × 6371000     		du = 304.013667357427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09405702)-sin(0.09400929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995579898554035-0.995584380145157)×R²
    abs(-0.09577793--0.09582586)×4.48159112176327e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.48159112176327e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.48159112176327e-06×40589641000000     		ar = 92446.6483413551m²