Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63535 / 63663
↖ ↑ ↗
← N  5.137450°
W  5.495911°		 ← 304.20 m → N  5.137450°
W  5.493164°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.134715°
W  5.495911°		 ← 304.20 m →
92 523 m²		 N  5.134715°
W  5.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484737396240234 y=0.485713958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484737396240234 × 217)
    floor (0.484737396240234 × 131072)
    floor (63535.5)     		tx = 63535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485713958740234 × 217)
    floor (0.485713958740234 × 131072)
    floor (63663.5)     		ty = 63663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63535 / 63663 ti = "17/63535/63663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63535/63663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63535 ÷ 217
    63535 ÷ 131072     		x = 0.484733581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63663 ÷ 217
    63663 ÷ 131072     		y = 0.485710144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484733581542969 × 2 - 1) × π
    -0.0305328369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09592174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485710144042969 × 2 - 1) × π
    0.0285797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0897858129883652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09592174} λ = -0.09592174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0897858129883652))-π/2
    2×atan(1.0939399508816)-π/2
    2×0.830230873866867-π/2
    1.66046174773373-1.57079632675     		φ = 0.08966542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09592174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.495911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08966542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.137450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63535 KachelY 63663 -0.09592174 0.08966542 -5.495911 5.137450
    Oben rechts KachelX + 1 63536 KachelY 63663 -0.09587380 0.08966542 -5.493164 5.137450
    Unten links KachelX 63535 KachelY + 1 63664 -0.09592174 0.08961768 -5.495911 5.134715
    Unten rechts KachelX + 1 63536 KachelY + 1 63664 -0.09587380 0.08961768 -5.493164 5.134715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08966542-0.08961768) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dl = 304.15153999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08966542-0.08961768) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dr = 304.15153999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09592174--0.09587380) × cos(0.08966542) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995982748831069 × 6371000     		do = 304.198768089028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09592174--0.09587380) × cos(0.08961768) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995987022589588 × 6371000     		du = 304.200073404886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08966542)-sin(0.08961768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995982748831069-0.995987022589588)×R²
    abs(-0.09587380--0.09592174)×4.27375851841383e-06×R²
    4.79400000000102e-05×4.27375851841383e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.27375851841383e-06×40589641000000     		ar = 92522.7223048408m²