Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63533 / 63667
↖ ↑ ↗
← N  5.126508°
W  5.501404°		 ← 304.20 m → N  5.126508°
W  5.498657°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.123772°
W  5.501404°		 ← 304.21 m →
92 524 m²		 N  5.123772°
W  5.498657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484722137451172 y=0.485744476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484722137451172 × 217)
    floor (0.484722137451172 × 131072)
    floor (63533.5)     		tx = 63533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485744476318359 × 217)
    floor (0.485744476318359 × 131072)
    floor (63667.5)     		ty = 63667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63533 / 63667 ti = "17/63533/63667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63533/63667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63533 ÷ 217
    63533 ÷ 131072     		x = 0.484718322753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63667 ÷ 217
    63667 ÷ 131072     		y = 0.485740661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484718322753906 × 2 - 1) × π
    -0.0305633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09601761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485740661621094 × 2 - 1) × π
    0.0285186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0895940653898849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09601761} λ = -0.09601761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0895940653898849))-π/2
    2×atan(1.09373021063237)-π/2
    2×0.830135384397568-π/2
    1.66027076879514-1.57079632675     		φ = 0.08947444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09601761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.501404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08947444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.126508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63533 KachelY 63667 -0.09601761 0.08947444 -5.501404 5.126508
    Oben rechts KachelX + 1 63534 KachelY 63667 -0.09596967 0.08947444 -5.498657 5.126508
    Unten links KachelX 63533 KachelY + 1 63668 -0.09601761 0.08942670 -5.501404 5.123772
    Unten rechts KachelX + 1 63534 KachelY + 1 63668 -0.09596967 0.08942670 -5.498657 5.123772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08947444-0.08942670) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dl = 304.151540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08947444-0.08942670) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dr = 304.151540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09601761--0.09596967) × cos(0.08947444) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995999832032437 × 6371000     		do = 304.203985738359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09601761--0.09596967) × cos(0.08942670) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9960040967101 × 6371000     		du = 304.20528828069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08947444)-sin(0.08942670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995999832032437-0.9960040967101)×R²
    abs(-0.09596967--0.09601761)×4.26467766279082e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.26467766279082e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.26467766279082e-06×40589641000000     		ar = 92524.3088391844m²