Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63528 / 63670
↖ ↑ ↗
← N  5.118301°
W  5.515136°		 ← 304.14 m → N  5.118301°
W  5.512390°		 →
↑
304.22 m
↓
↑
304.22 m
↓
N  5.115565°
W  5.515136°		 ← 304.15 m →
92 526 m²		 N  5.115565°
W  5.512390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484683990478516 y=0.485767364501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484683990478516 × 217)
    floor (0.484683990478516 × 131072)
    floor (63528.5)     		tx = 63528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485767364501953 × 217)
    floor (0.485767364501953 × 131072)
    floor (63670.5)     		ty = 63670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63528 / 63670 ti = "17/63528/63670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63528/63670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63528 ÷ 217
    63528 ÷ 131072     		x = 0.48468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63670 ÷ 217
    63670 ÷ 131072     		y = 0.485763549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.0306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09625729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485763549804688 × 2 - 1) × π
    0.028472900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0894502546910248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09625729} λ = -0.09625729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0894502546910248))-π/2
    2×atan(1.09357293183587)-π/2
    2×0.830063766221717-π/2
    1.66012753244343-1.57079632675     		φ = 0.08933121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09625729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.515136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08933121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.118301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63528 KachelY 63670 -0.09625729 0.08933121 -5.515136 5.118301
    Oben rechts KachelX + 1 63529 KachelY 63670 -0.09620936 0.08933121 -5.512390 5.118301
    Unten links KachelX 63528 KachelY + 1 63671 -0.09625729 0.08928346 -5.515136 5.115565
    Unten rechts KachelX + 1 63529 KachelY + 1 63671 -0.09620936 0.08928346 -5.512390 5.115565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08933121-0.08928346) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dl = 304.215249999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08933121-0.08928346) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dr = 304.215249999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09625729--0.09620936) × cos(0.08933121) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.996012620147539 × 6371000     		do = 304.144435593881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09625729--0.09620936) × cos(0.08928346) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.996016878906344 × 6371000     		du = 304.145736057115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08933121)-sin(0.08928346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996012620147539-0.996016878906344)×R²
    abs(-0.09620936--0.09625729)×4.25875880549764e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.25875880549764e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.25875880549764e-06×40589641000000     		ar = 92525.5733382425m²