Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 622 / 297
↖ ↑ ↗
← N 60.064840°
E 38.671875°		 ← 19.508 km → N 60.064840°
E 39.023438°		 →
↑
19.560 km
↓
↑
19.560 km
↓
N 59.888937°
E 38.671875°		 ← 19.612 km →
382.578 km²		 N 59.888937°
E 39.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60791015625 y=0.29052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60791015625 × 210)
    floor (0.60791015625 × 1024)
    floor (622.5)     		tx = 622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29052734375 × 210)
    floor (0.29052734375 × 1024)
    floor (297.5)     		ty = 297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 622 / 297 ti = "10/622/297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/622/297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 622 ÷ 210
    622 ÷ 1024     		x = 0.607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 297 ÷ 210
    297 ÷ 1024     		y = 0.2900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607421875 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2900390625 × 2 - 1) × π
    0.419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31922347754395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67495155} λ = 0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31922347754395))-π/2
    2×atan(3.74051565482432)-π/2
    2×1.30956277874501-π/2
    2.61912555749001-1.57079632675     		φ = 1.04832923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04832923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.064840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 622 KachelY 297 0.67495155 1.04832923 38.671875 60.064840
    Oben rechts KachelX + 1 623 KachelY 297 0.68108747 1.04832923 39.023438 60.064840
    Unten links KachelX 622 KachelY + 1 298 0.67495155 1.04525913 38.671875 59.888937
    Unten rechts KachelX + 1 623 KachelY + 1 298 0.68108747 1.04525913 39.023438 59.888937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04832923-1.04525913) × R
    0.00307009999999996 × 6371000     		dl = 19559.6070999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04832923-1.04525913) × R
    0.00307009999999996 × 6371000     		dr = 19559.6070999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67495155-0.68108747) × cos(1.04832923) × R
    0.00613592000000007 × 0.499019617442329 × 6371000     		do = 19507.6480976827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67495155-0.68108747) × cos(1.04525913) × R
    0.00613592000000007 × 0.501677781579305 × 6371000     		du = 19611.5609074351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04832923)-sin(1.04525913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.499019617442329-0.501677781579305)×R²
    abs(0.68108747-0.67495155)×0.00265816413697645×R²
    0.00613592000000007×0.00265816413697645×6371000²
    0.00613592000000007×0.00265816413697645×40589641000000     		ar = 382578479.601373m²