Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 621 / 301
↖ ↑ ↗
← N 59.355596°
E 38.320312°		 ← 19.926 km → N 59.355596°
E 38.671875°		 →
↑
19.978 km
↓
↑
19.978 km
↓
N 59.175928°
E 38.320312°		 ← 20.031 km →
399.127 km²		 N 59.175928°
E 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60693359375 y=0.29443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60693359375 × 210)
    floor (0.60693359375 × 1024)
    floor (621.5)     		tx = 621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29443359375 × 210)
    floor (0.29443359375 × 1024)
    floor (301.5)     		ty = 301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 621 / 301 ti = "10/621/301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/621/301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 621 ÷ 210
    621 ÷ 1024     		x = 0.6064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 301 ÷ 210
    301 ÷ 1024     		y = 0.2939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6064453125 × 2 - 1) × π
    0.212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66881562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2939453125 × 2 - 1) × π
    0.412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29467978493848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66881562} λ = 0.66881562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29467978493848))-π/2
    2×atan(3.64982705740315)-π/2
    2×1.30337345418988-π/2
    2.60674690837976-1.57079632675     		φ = 1.03595058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66881562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.320312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03595058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.355596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 621 KachelY 301 0.66881562 1.03595058 38.320312 59.355596
    Oben rechts KachelX + 1 622 KachelY 301 0.67495155 1.03595058 38.671875 59.355596
    Unten links KachelX 621 KachelY + 1 302 0.66881562 1.03281479 38.320312 59.175928
    Unten rechts KachelX + 1 622 KachelY + 1 302 0.67495155 1.03281479 38.671875 59.175928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03595058-1.03281479) × R
    0.00313578999999997 × 6371000     		dl = 19978.1180899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03595058-1.03281479) × R
    0.00313578999999997 × 6371000     		dr = 19978.1180899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66881562-0.67495155) × cos(1.03595058) × R
    0.0061359299999999 × 0.509708334170315 × 6371000     		do = 19925.5233117602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66881562-0.67495155) × cos(1.03281479) × R
    0.0061359299999999 × 0.512403692070203 × 6371000     		du = 20030.8902698171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03595058)-sin(1.03281479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509708334170315-0.512403692070203)×R²
    abs(0.67495155-0.66881562)×0.0026953578998884×R²
    0.0061359299999999×0.0026953578998884×6371000²
    0.0061359299999999×0.0026953578998884×40589641000000     		ar = 399127301.550365m²