Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 618 / 298
↖ ↑ ↗
← N 59.888937°
E 37.265625°		 ← 19.612 km → N 59.888937°
E 37.617188°		 →
↑
19.664 km
↓
↑
19.664 km
↓
N 59.712097°
E 37.265625°		 ← 19.716 km →
386.661 km²		 N 59.712097°
E 37.617188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60400390625 y=0.29150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60400390625 × 210)
    floor (0.60400390625 × 1024)
    floor (618.5)     		tx = 618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29150390625 × 210)
    floor (0.29150390625 × 1024)
    floor (298.5)     		ty = 298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 618 / 298 ti = "10/618/298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/618/298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 618 ÷ 210
    618 ÷ 1024     		x = 0.603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 298 ÷ 210
    298 ÷ 1024     		y = 0.291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603515625 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65040785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291015625 × 2 - 1) × π
    0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65040785} λ = 0.65040785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31308755439258))-π/2
    2×atan(3.71763440879247)-π/2
    2×1.30802773057187-π/2
    2.61605546114375-1.57079632675     		φ = 1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65040785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 618 KachelY 298 0.65040785 1.04525913 37.265625 59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 619 KachelY 298 0.65654378 1.04525913 37.617188 59.888937
    Unten links KachelX 618 KachelY + 1 299 0.65040785 1.04217270 37.265625 59.712097
    Unten rechts KachelX + 1 619 KachelY + 1 299 0.65654378 1.04217270 37.617188 59.712097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04525913-1.04217270) × R
    0.00308642999999997 × 6371000     		dl = 19663.6455299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04525913-1.04217270) × R
    0.00308642999999997 × 6371000     		dr = 19663.6455299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65040785-0.65654378) × cos(1.04525913) × R
    0.00613593000000001 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 19611.5928693264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65040785-0.65654378) × cos(1.04217270) × R
    0.00613593000000001 × 0.504345318204851 × 6371000     		du = 19715.8722378476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04525913)-sin(1.04217270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.504345318204851)×R²
    abs(0.65654378-0.65040785)×0.00266753662554542×R²
    0.00613593000000001×0.00266753662554542×6371000²
    0.00613593000000001×0.00266753662554542×40589641000000     		ar = 386660973.676501m²