Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61688 / 53176
↖ ↑ ↗
← N 32.119801°
W 10.568848°		 ← 258.68 m → N 32.119801°
W 10.566101°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
N 32.117475°
W 10.568848°		 ← 258.68 m →
66 911 m²		 N 32.117475°
W 10.566101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470645904541016 y=0.405704498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470645904541016 × 217)
    floor (0.470645904541016 × 131072)
    floor (61688.5)     		tx = 61688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405704498291016 × 217)
    floor (0.405704498291016 × 131072)
    floor (53176.5)     		ty = 53176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61688 / 53176 ti = "17/61688/53176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61688/53176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61688 ÷ 217
    61688 ÷ 131072     		x = 0.47064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53176 ÷ 217
    53176 ÷ 131072     		y = 0.40570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.0587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18446119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40570068359375 × 2 - 1) × π
    0.1885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.592500079303894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18446119} λ = -0.18446119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592500079303894))-π/2
    2×atan(1.80850417202239)-π/2
    2×1.06569630563354-π/2
    2.13139261126708-1.57079632675     		φ = 0.56059628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18446119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.568848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56059628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.119801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61688 KachelY 53176 -0.18446119 0.56059628 -10.568848 32.119801
    Oben rechts KachelX + 1 61689 KachelY 53176 -0.18441325 0.56059628 -10.566101 32.119801
    Unten links KachelX 61688 KachelY + 1 53177 -0.18446119 0.56055568 -10.568848 32.117475
    Unten rechts KachelX + 1 61689 KachelY + 1 53177 -0.18441325 0.56055568 -10.566101 32.117475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56059628-0.56055568) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dl = 258.662599999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56059628-0.56055568) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dr = 258.662599999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18446119--0.18441325) × cos(0.56059628) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.846938224705385 × 6371000     		do = 258.676734014909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18446119--0.18441325) × cos(0.56055568) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.846959810674321 × 6371000     		du = 258.683326925445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56059628)-sin(0.56055568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846938224705385-0.846959810674321)×R²
    abs(-0.18441325--0.18446119)×2.15859689367548e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15859689367548e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15859689367548e-05×40589641000000     		ar = 66910.8492585361m²