Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61678 / 53174
↖ ↑ ↗
← N 32.124453°
W 10.596314°		 ← 258.66 m → N 32.124453°
W 10.593567°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
N 32.122127°
W 10.596314°		 ← 258.67 m →
66 907 m²		 N 32.122127°
W 10.593567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470569610595703 y=0.405689239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470569610595703 × 217)
    floor (0.470569610595703 × 131072)
    floor (61678.5)     		tx = 61678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405689239501953 × 217)
    floor (0.405689239501953 × 131072)
    floor (53174.5)     		ty = 53174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61678 / 53174 ti = "17/61678/53174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61678/53174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61678 ÷ 217
    61678 ÷ 131072     		x = 0.470565795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53174 ÷ 217
    53174 ÷ 131072     		y = 0.405685424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470565795898438 × 2 - 1) × π
    -0.058868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18494056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405685424804688 × 2 - 1) × π
    0.188629150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.592595953103134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18494056} λ = -0.18494056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592595953103134))-π/2
    2×atan(1.80867756850026)-π/2
    2×1.06573690419127-π/2
    2.13147380838255-1.57079632675     		φ = 0.56067748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18494056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.596314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56067748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.124453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61678 KachelY 53174 -0.18494056 0.56067748 -10.596314 32.124453
    Oben rechts KachelX + 1 61679 KachelY 53174 -0.18489262 0.56067748 -10.593567 32.124453
    Unten links KachelX 61678 KachelY + 1 53175 -0.18494056 0.56063688 -10.596314 32.122127
    Unten rechts KachelX + 1 61679 KachelY + 1 53175 -0.18489262 0.56063688 -10.593567 32.122127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56067748-0.56063688) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dl = 258.662599999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56067748-0.56063688) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dr = 258.662599999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18494056--0.18489262) × cos(0.56067748) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.846895048579369 × 6371000     		do = 258.66354691467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18494056--0.18489262) × cos(0.56063688) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.846916637340389 × 6371000     		du = 258.67014067798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56067748)-sin(0.56063688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846895048579369-0.846916637340389)×R²
    abs(-0.18489262--0.18494056)×2.1588761019431e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1588761019431e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1588761019431e-05×40589641000000     		ar = 66907.4383593788m²