Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61631 / 53191
↖ ↑ ↗
← N 32.084901°
W 10.725403°		 ← 258.72 m → N 32.084901°
W 10.722656°		 →
↑
258.73 m
↓
↑
258.73 m
↓
N 32.082575°
W 10.725403°		 ← 258.73 m →
66 939 m²		 N 32.082575°
W 10.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470211029052734 y=0.405818939208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470211029052734 × 217)
    floor (0.470211029052734 × 131072)
    floor (61631.5)     		tx = 61631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405818939208984 × 217)
    floor (0.405818939208984 × 131072)
    floor (53191.5)     		ty = 53191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61631 / 53191 ti = "17/61631/53191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61631/53191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61631 ÷ 217
    61631 ÷ 131072     		x = 0.470207214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53191 ÷ 217
    53191 ÷ 131072     		y = 0.405815124511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470207214355469 × 2 - 1) × π
    -0.0595855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18719359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405815124511719 × 2 - 1) × π
    0.188369750976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.591781025809593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18719359} λ = -0.18719359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591781025809593))-π/2
    2×atan(1.80720422819863)-π/2
    2×1.06539175049404-π/2
    2.13078350098809-1.57079632675     		φ = 0.55998717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18719359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.725403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55998717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.084901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61631 KachelY 53191 -0.18719359 0.55998717 -10.725403 32.084901
    Oben rechts KachelX + 1 61632 KachelY 53191 -0.18714566 0.55998717 -10.722656 32.084901
    Unten links KachelX 61631 KachelY + 1 53192 -0.18719359 0.55994656 -10.725403 32.082575
    Unten rechts KachelX + 1 61632 KachelY + 1 53192 -0.18714566 0.55994656 -10.722656 32.082575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55998717-0.55994656) × R
    4.06099999999965e-05 × 6371000     		dl = 258.726309999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55998717-0.55994656) × R
    4.06099999999965e-05 × 6371000     		dr = 258.726309999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18719359--0.18714566) × cos(0.55998717) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.847261926062602 × 6371000     		do = 258.721621684195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18719359--0.18714566) × cos(0.55994656) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.84728349639401 × 6371000     		du = 258.728208444381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55998717)-sin(0.55994656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847261926062602-0.84728349639401)×R²
    abs(-0.18714566--0.18719359)×2.15703314072613e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15703314072613e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15703314072613e-05×40589641000000     		ar = 66938.9425887758m²