Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61621 / 53189
↖ ↑ ↗
← N 32.089556°
W 10.752869°		 ← 258.71 m → N 32.089556°
W 10.750122°		 →
↑
258.73 m
↓
↑
258.73 m
↓
N 32.087229°
W 10.752869°		 ← 258.72 m →
66 936 m²		 N 32.087229°
W 10.750122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470134735107422 y=0.405803680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470134735107422 × 217)
    floor (0.470134735107422 × 131072)
    floor (61621.5)     		tx = 61621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405803680419922 × 217)
    floor (0.405803680419922 × 131072)
    floor (53189.5)     		ty = 53189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61621 / 53189 ti = "17/61621/53189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61621/53189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61621 ÷ 217
    61621 ÷ 131072     		x = 0.470130920410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53189 ÷ 217
    53189 ÷ 131072     		y = 0.405799865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470130920410156 × 2 - 1) × π
    -0.0597381591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18767296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405799865722656 × 2 - 1) × π
    0.188400268554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.591876899608833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18767296} λ = -0.18767296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591876899608833))-π/2
    2×atan(1.80737750003997)-π/2
    2×1.06543236456963-π/2
    2.13086472913927-1.57079632675     		φ = 0.56006840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18767296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.752869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56006840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.089556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61621 KachelY 53189 -0.18767296 0.56006840 -10.752869 32.089556
    Oben rechts KachelX + 1 61622 KachelY 53189 -0.18762503 0.56006840 -10.750122 32.089556
    Unten links KachelX 61621 KachelY + 1 53190 -0.18767296 0.56002779 -10.752869 32.087229
    Unten rechts KachelX + 1 61622 KachelY + 1 53190 -0.18762503 0.56002779 -10.750122 32.087229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56006840-0.56002779) × R
    4.06099999999965e-05 × 6371000     		dl = 258.726309999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56006840-0.56002779) × R
    4.06099999999965e-05 × 6371000     		dr = 258.726309999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18767296--0.18762503) × cos(0.56006840) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.84721877589554 × 6371000     		do = 258.708445261586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18767296--0.18762503) × cos(0.56002779) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.847240349021817 × 6371000     		du = 258.715032875219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56006840)-sin(0.56002779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84721877589554-0.847240349021817)×R²
    abs(-0.18762503--0.18767296)×2.15731262772634e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15731262772634e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15731262772634e-05×40589641000000     		ar = 66935.5336121656m²