Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61466 / 53290
↖ ↑ ↗
← N 31.854231°
W 11.178589°		 ← 259.43 m → N 31.854231°
W 11.175842°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 31.851898°
W 11.178589°		 ← 259.43 m →
67 303 m²		 N 31.851898°
W 11.175842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468952178955078 y=0.406574249267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468952178955078 × 217)
    floor (0.468952178955078 × 131072)
    floor (61466.5)     		tx = 61466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406574249267578 × 217)
    floor (0.406574249267578 × 131072)
    floor (53290.5)     		ty = 53290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61466 / 53290 ti = "17/61466/53290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61466/53290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61466 ÷ 217
    61466 ÷ 131072     		x = 0.468948364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53290 ÷ 217
    53290 ÷ 131072     		y = 0.406570434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468948364257812 × 2 - 1) × π
    -0.062103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19510318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406570434570312 × 2 - 1) × π
    0.186859130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.587035272747208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19510318} λ = -0.19510318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587035272747208))-π/2
    2×atan(1.79864800212507)-π/2
    2×1.06337877186737-π/2
    2.12675754373473-1.57079632675     		φ = 0.55596122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19510318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.178589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55596122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.854231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61466 KachelY 53290 -0.19510318 0.55596122 -11.178589 31.854231
    Oben rechts KachelX + 1 61467 KachelY 53290 -0.19505524 0.55596122 -11.175842 31.854231
    Unten links KachelX 61466 KachelY + 1 53291 -0.19510318 0.55592050 -11.178589 31.851898
    Unten rechts KachelX + 1 61467 KachelY + 1 53291 -0.19505524 0.55592050 -11.175842 31.851898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55596122-0.55592050) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55596122-0.55592050) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19510318--0.19505524) × cos(0.55596122) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849393539278679 × 6371000     		do = 259.42665028539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19510318--0.19505524) × cos(0.55592050) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849415028961592 × 6371000     		du = 259.433213787696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55596122)-sin(0.55592050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849393539278679-0.849415028961592)×R²
    abs(-0.19505524--0.19510318)×2.1489682912823e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1489682912823e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1489682912823e-05×40589641000000     		ar = 67303.1601192918m²