Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61465 / 53238
↖ ↑ ↗
← N 31.975464°
W 11.181336°		 ← 259.09 m → N 31.975464°
W 11.178589°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
N 31.973134°
W 11.181336°		 ← 259.09 m →
67 115 m²		 N 31.973134°
W 11.178589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468944549560547 y=0.406177520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468944549560547 × 217)
    floor (0.468944549560547 × 131072)
    floor (61465.5)     		tx = 61465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406177520751953 × 217)
    floor (0.406177520751953 × 131072)
    floor (53238.5)     		ty = 53238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61465 / 53238 ti = "17/61465/53238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61465/53238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61465 ÷ 217
    61465 ÷ 131072     		x = 0.468940734863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53238 ÷ 217
    53238 ÷ 131072     		y = 0.406173706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468940734863281 × 2 - 1) × π
    -0.0621185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19515112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406173706054688 × 2 - 1) × π
    0.187652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.589527991527451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19515112} λ = -0.19515112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589527991527451))-π/2
    2×atan(1.80313711850689)-π/2
    2×1.06443672464146-π/2
    2.12887344928293-1.57079632675     		φ = 0.55807712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19515112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.181336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55807712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.975464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61465 KachelY 53238 -0.19515112 0.55807712 -11.181336 31.975464
    Oben rechts KachelX + 1 61466 KachelY 53238 -0.19510318 0.55807712 -11.178589 31.975464
    Unten links KachelX 61465 KachelY + 1 53239 -0.19515112 0.55803646 -11.181336 31.973134
    Unten rechts KachelX + 1 61466 KachelY + 1 53239 -0.19510318 0.55803646 -11.178589 31.973134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55807712-0.55803646) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55807712-0.55803646) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19515112--0.19510318) × cos(0.55807712) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.848274951351604 × 6371000     		do = 259.085004740158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19515112--0.19510318) × cos(0.55803646) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.84829648239927 × 6371000     		du = 259.091580876324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55807712)-sin(0.55803646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848274951351604-0.84829648239927)×R²
    abs(-0.19510318--0.19515112)×2.15310476657793e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15310476657793e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15310476657793e-05×40589641000000     		ar = 67115.4905475183m²