Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61464 / 53288
↖ ↑ ↗
← N 31.858897°
W 11.184082°		 ← 259.41 m → N 31.858897°
W 11.181336°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 31.856564°
W 11.184082°		 ← 259.42 m →
67 300 m²		 N 31.856564°
W 11.181336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468936920166016 y=0.406558990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468936920166016 × 217)
    floor (0.468936920166016 × 131072)
    floor (61464.5)     		tx = 61464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406558990478516 × 217)
    floor (0.406558990478516 × 131072)
    floor (53288.5)     		ty = 53288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61464 / 53288 ti = "17/61464/53288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61464/53288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61464 ÷ 217
    61464 ÷ 131072     		x = 0.46893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53288 ÷ 217
    53288 ÷ 131072     		y = 0.40655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19519906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40655517578125 × 2 - 1) × π
    0.1868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.587131146546448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19519906} λ = -0.19519906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587131146546448))-π/2
    2×atan(1.79882045360918)-π/2
    2×1.06341948813013-π/2
    2.12683897626027-1.57079632675     		φ = 0.55604265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19519906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55604265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.858897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61464 KachelY 53288 -0.19519906 0.55604265 -11.184082 31.858897
    Oben rechts KachelX + 1 61465 KachelY 53288 -0.19515112 0.55604265 -11.181336 31.858897
    Unten links KachelX 61464 KachelY + 1 53289 -0.19519906 0.55600193 -11.184082 31.856564
    Unten rechts KachelX + 1 61465 KachelY + 1 53289 -0.19515112 0.55600193 -11.181336 31.856564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55604265-0.55600193) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55604265-0.55600193) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19519906--0.19515112) × cos(0.55604265) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849350560965995 × 6371000     		do = 259.413523602434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19519906--0.19515112) × cos(0.55600193) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849372053465317 × 6371000     		du = 259.420087964944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55604265)-sin(0.55600193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849350560965995-0.849372053465317)×R²
    abs(-0.19515112--0.19519906)×2.14924993214849e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14924993214849e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14924993214849e-05×40589641000000     		ar = 67299.7548132723m²