Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61464 / 53240
↖ ↑ ↗
← N 31.970804°
W 11.184082°		 ← 259.10 m → N 31.970804°
W 11.181336°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
N 31.968474°
W 11.184082°		 ← 259.10 m →
67 119 m²		 N 31.968474°
W 11.181336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468936920166016 y=0.406192779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468936920166016 × 217)
    floor (0.468936920166016 × 131072)
    floor (61464.5)     		tx = 61464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406192779541016 × 217)
    floor (0.406192779541016 × 131072)
    floor (53240.5)     		ty = 53240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61464 / 53240 ti = "17/61464/53240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61464/53240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61464 ÷ 217
    61464 ÷ 131072     		x = 0.46893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53240 ÷ 217
    53240 ÷ 131072     		y = 0.40618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19519906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40618896484375 × 2 - 1) × π
    0.1876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.58943211772821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19519906} λ = -0.19519906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58943211772821))-π/2
    2×atan(1.80296425318754)-π/2
    2×1.0643960599381-π/2
    2.12879211987621-1.57079632675     		φ = 0.55799579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19519906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55799579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.970804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61464 KachelY 53240 -0.19519906 0.55799579 -11.184082 31.970804
    Oben rechts KachelX + 1 61465 KachelY 53240 -0.19515112 0.55799579 -11.181336 31.970804
    Unten links KachelX 61464 KachelY + 1 53241 -0.19519906 0.55795513 -11.184082 31.968474
    Unten rechts KachelX + 1 61465 KachelY + 1 53241 -0.19515112 0.55795513 -11.181336 31.968474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55799579-0.55795513) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55799579-0.55795513) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19519906--0.19515112) × cos(0.55799579) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848318017339372 × 6371000     		do = 259.098158201191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19519906--0.19515112) × cos(0.55795513) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848339545581789 × 6371000     		du = 259.104733480562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55799579)-sin(0.55795513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848318017339372-0.848339545581789)×R²
    abs(-0.19515112--0.19519906)×2.15282424173013e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15282424173013e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15282424173013e-05×40589641000000     		ar = 67118.897772751m²