Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61459 / 53233
↖ ↑ ↗
← N 31.987112°
W 11.197815°		 ← 259.05 m → N 31.987112°
W 11.195068°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
N 31.984783°
W 11.197815°		 ← 259.06 m →
67 107 m²		 N 31.984783°
W 11.195068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468898773193359 y=0.406139373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468898773193359 × 217)
    floor (0.468898773193359 × 131072)
    floor (61459.5)     		tx = 61459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406139373779297 × 217)
    floor (0.406139373779297 × 131072)
    floor (53233.5)     		ty = 53233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61459 / 53233 ti = "17/61459/53233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61459/53233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61459 ÷ 217
    61459 ÷ 131072     		x = 0.468894958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53233 ÷ 217
    53233 ÷ 131072     		y = 0.406135559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468894958496094 × 2 - 1) × π
    -0.0622100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19543874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406135559082031 × 2 - 1) × π
    0.187728881835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.589767676025551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19543874} λ = -0.19543874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589767676025551))-π/2
    2×atan(1.80356935432018)-π/2
    2×1.06453837736725-π/2
    2.12907675473449-1.57079632675     		φ = 0.55828043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19543874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.197815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55828043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.987112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61459 KachelY 53233 -0.19543874 0.55828043 -11.197815 31.987112
    Oben rechts KachelX + 1 61460 KachelY 53233 -0.19539080 0.55828043 -11.195068 31.987112
    Unten links KachelX 61459 KachelY + 1 53234 -0.19543874 0.55823977 -11.197815 31.984783
    Unten rechts KachelX + 1 61460 KachelY + 1 53234 -0.19539080 0.55823977 -11.195068 31.984783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55828043-0.55823977) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55828043-0.55823977) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19543874--0.19539080) × cos(0.55828043) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848167269780727 × 6371000     		do = 259.052116016538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19543874--0.19539080) × cos(0.55823977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848188807840374 × 6371000     		du = 259.058694294344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55828043)-sin(0.55823977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848167269780727-0.848188807840374)×R²
    abs(-0.19539080--0.19543874)×2.1538059646331e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1538059646331e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1538059646331e-05×40589641000000     		ar = 67106.9711700535m²