Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61459 / 53232
↖ ↑ ↗
← N 31.989442°
W 11.197815°		 ← 259.05 m → N 31.989442°
W 11.195068°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
N 31.987112°
W 11.197815°		 ← 259.05 m →
67 105 m²		 N 31.987112°
W 11.195068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468898773193359 y=0.406131744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468898773193359 × 217)
    floor (0.468898773193359 × 131072)
    floor (61459.5)     		tx = 61459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406131744384766 × 217)
    floor (0.406131744384766 × 131072)
    floor (53232.5)     		ty = 53232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61459 / 53232 ti = "17/61459/53232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61459/53232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61459 ÷ 217
    61459 ÷ 131072     		x = 0.468894958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53232 ÷ 217
    53232 ÷ 131072     		y = 0.4061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468894958496094 × 2 - 1) × π
    -0.0622100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19543874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4061279296875 × 2 - 1) × π
    0.187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.589815612925171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19543874} λ = -0.19543874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589815612925171))-π/2
    2×atan(1.80365581391557)-π/2
    2×1.06455870636379-π/2
    2.12911741272758-1.57079632675     		φ = 0.55832109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19543874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.197815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55832109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.989442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61459 KachelY 53232 -0.19543874 0.55832109 -11.197815 31.989442
    Oben rechts KachelX + 1 61460 KachelY 53232 -0.19539080 0.55832109 -11.195068 31.989442
    Unten links KachelX 61459 KachelY + 1 53233 -0.19543874 0.55828043 -11.197815 31.987112
    Unten rechts KachelX + 1 61460 KachelY + 1 53233 -0.19539080 0.55828043 -11.195068 31.987112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55832109-0.55828043) × R
    4.06599999999147e-05 × 6371000     		dl = 259.044859999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55832109-0.55828043) × R
    4.06599999999147e-05 × 6371000     		dr = 259.044859999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19543874--0.19539080) × cos(0.55832109) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848145730318861 × 6371000     		do = 259.045537310459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19543874--0.19539080) × cos(0.55828043) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848167269780727 × 6371000     		du = 259.052116016538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55832109)-sin(0.55828043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848145730318861-0.848167269780727)×R²
    abs(-0.19539080--0.19543874)×2.15394618665599e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15394618665599e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15394618665599e-05×40589641000000     		ar = 67105.2670453075m²