Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61457 / 53285
↖ ↑ ↗
← N 31.865895°
W 11.203308°		 ← 259.34 m → N 31.865895°
W 11.200562°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
N 31.863563°
W 11.203308°		 ← 259.35 m →
67 264 m²		 N 31.863563°
W 11.200562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468883514404297 y=0.406536102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468883514404297 × 217)
    floor (0.468883514404297 × 131072)
    floor (61457.5)     		tx = 61457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406536102294922 × 217)
    floor (0.406536102294922 × 131072)
    floor (53285.5)     		ty = 53285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61457 / 53285 ti = "17/61457/53285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61457/53285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61457 ÷ 217
    61457 ÷ 131072     		x = 0.468879699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53285 ÷ 217
    53285 ÷ 131072     		y = 0.406532287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468879699707031 × 2 - 1) × π
    -0.0622406005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19553461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406532287597656 × 2 - 1) × π
    0.186935424804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.587274957245308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19553461} λ = -0.19553461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587274957245308))-π/2
    2×atan(1.7990791618378)-π/2
    2×1.06348055866099-π/2
    2.12696111732198-1.57079632675     		φ = 0.55616479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19553461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.203308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55616479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.865895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61457 KachelY 53285 -0.19553461 0.55616479 -11.203308 31.865895
    Oben rechts KachelX + 1 61458 KachelY 53285 -0.19548668 0.55616479 -11.200562 31.865895
    Unten links KachelX 61457 KachelY + 1 53286 -0.19553461 0.55612408 -11.203308 31.863563
    Unten rechts KachelX + 1 61458 KachelY + 1 53286 -0.19548668 0.55612408 -11.200562 31.863563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55616479-0.55612408) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dl = 259.363409999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55616479-0.55612408) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dr = 259.363409999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19553461--0.19548668) × cos(0.55616479) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849286085576889 × 6371000     		do = 259.339723142521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19553461--0.19548668) × cos(0.55612408) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.8493075770214 × 6371000     		du = 259.346285813645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55616479)-sin(0.55612408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849286085576889-0.8493075770214)×R²
    abs(-0.19548668--0.19553461)×2.14914445111347e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14914445111347e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14914445111347e-05×40589641000000     		ar = 67264.0860100934m²