Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61457 / 53283
↖ ↑ ↗
← N 31.870560°
W 11.203308°		 ← 259.33 m → N 31.870560°
W 11.200562°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
N 31.868228°
W 11.203308°		 ← 259.33 m →
67 261 m²		 N 31.868228°
W 11.200562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468883514404297 y=0.406520843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468883514404297 × 217)
    floor (0.468883514404297 × 131072)
    floor (61457.5)     		tx = 61457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406520843505859 × 217)
    floor (0.406520843505859 × 131072)
    floor (53283.5)     		ty = 53283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61457 / 53283 ti = "17/61457/53283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61457/53283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61457 ÷ 217
    61457 ÷ 131072     		x = 0.468879699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53283 ÷ 217
    53283 ÷ 131072     		y = 0.406517028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468879699707031 × 2 - 1) × π
    -0.0622406005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19553461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406517028808594 × 2 - 1) × π
    0.186965942382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.587370831044548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19553461} λ = -0.19553461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587370831044548))-π/2
    2×atan(1.79925165466082)-π/2
    2×1.06352126977246-π/2
    2.12704253954493-1.57079632675     		φ = 0.55624621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19553461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.203308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55624621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.870560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61457 KachelY 53283 -0.19553461 0.55624621 -11.203308 31.870560
    Oben rechts KachelX + 1 61458 KachelY 53283 -0.19548668 0.55624621 -11.200562 31.870560
    Unten links KachelX 61457 KachelY + 1 53284 -0.19553461 0.55620550 -11.203308 31.868228
    Unten rechts KachelX + 1 61458 KachelY + 1 53284 -0.19548668 0.55620550 -11.200562 31.868228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55624621-0.55620550) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dl = 259.363409999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55624621-0.55620550) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dr = 259.363409999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19553461--0.19548668) × cos(0.55624621) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849243098465326 × 6371000     		do = 259.326596510871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19553461--0.19548668) × cos(0.55620550) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849264592724852 × 6371000     		du = 259.333160041593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55624621)-sin(0.55620550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849243098465326-0.849264592724852)×R²
    abs(-0.19548668--0.19553461)×2.14942595260226e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14942595260226e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14942595260226e-05×40589641000000     		ar = 67260.6815537139m²