Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61456 / 53234
↖ ↑ ↗
← N 31.984783°
W 11.206055°		 ← 259.06 m → N 31.984783°
W 11.203308°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
N 31.982453°
W 11.206055°		 ← 259.07 m →
67 109 m²		 N 31.982453°
W 11.203308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468875885009766 y=0.406147003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468875885009766 × 217)
    floor (0.468875885009766 × 131072)
    floor (61456.5)     		tx = 61456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406147003173828 × 217)
    floor (0.406147003173828 × 131072)
    floor (53234.5)     		ty = 53234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61456 / 53234 ti = "17/61456/53234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61456/53234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61456 ÷ 217
    61456 ÷ 131072     		x = 0.4688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53234 ÷ 217
    53234 ÷ 131072     		y = 0.406143188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406143188476562 × 2 - 1) × π
    0.187713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.589719739125931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19558255} λ = -0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589719739125931))-π/2
    2×atan(1.80348289886931)-π/2
    2×1.06451804785447-π/2
    2.12903609570894-1.57079632675     		φ = 0.55823977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55823977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.984783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61456 KachelY 53234 -0.19558255 0.55823977 -11.206055 31.984783
    Oben rechts KachelX + 1 61457 KachelY 53234 -0.19553461 0.55823977 -11.203308 31.984783
    Unten links KachelX 61456 KachelY + 1 53235 -0.19558255 0.55819911 -11.206055 31.982453
    Unten rechts KachelX + 1 61457 KachelY + 1 53235 -0.19553461 0.55819911 -11.203308 31.982453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55823977-0.55819911) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55823977-0.55819911) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19558255--0.19553461) × cos(0.55823977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848188807840374 × 6371000     		do = 259.058694294344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19558255--0.19553461) × cos(0.55819911) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848210344497764 × 6371000     		du = 259.065272143865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55823977)-sin(0.55819911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848188807840374-0.848210344497764)×R²
    abs(-0.19553461--0.19558255)×2.15366573904641e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15366573904641e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15366573904641e-05×40589641000000     		ar = 67108.6751835416m²