Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61455 / 53236
↖ ↑ ↗
← N 31.980123°
W 11.208801°		 ← 259.07 m → N 31.980123°
W 11.206055°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
N 31.977794°
W 11.208801°		 ← 259.08 m →
67 112 m²		 N 31.977794°
W 11.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468868255615234 y=0.406162261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468868255615234 × 217)
    floor (0.468868255615234 × 131072)
    floor (61455.5)     		tx = 61455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406162261962891 × 217)
    floor (0.406162261962891 × 131072)
    floor (53236.5)     		ty = 53236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61455 / 53236 ti = "17/61455/53236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61455/53236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61455 ÷ 217
    61455 ÷ 131072     		x = 0.468864440917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53236 ÷ 217
    53236 ÷ 131072     		y = 0.406158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468864440917969 × 2 - 1) × π
    -0.0622711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19563049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406158447265625 × 2 - 1) × π
    0.18768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.589623865326691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19563049} λ = -0.19563049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589623865326691))-π/2
    2×atan(1.80331000040028)-π/2
    2×1.06447738728031-π/2
    2.12895477456062-1.57079632675     		φ = 0.55815845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19563049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.208801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55815845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.980123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61455 KachelY 53236 -0.19563049 0.55815845 -11.208801 31.980123
    Oben rechts KachelX + 1 61456 KachelY 53236 -0.19558255 0.55815845 -11.206055 31.980123
    Unten links KachelX 61455 KachelY + 1 53237 -0.19563049 0.55811779 -11.208801 31.977794
    Unten rechts KachelX + 1 61456 KachelY + 1 53237 -0.19558255 0.55811779 -11.206055 31.977794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55815845-0.55811779) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55815845-0.55811779) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19563049--0.19558255) × cos(0.55815845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848231879752863 × 6371000     		do = 259.071849565089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19563049--0.19558255) × cos(0.55811779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848253413605635 × 6371000     		du = 259.078426558007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55815845)-sin(0.55811779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848231879752863-0.848253413605635)×R²
    abs(-0.19558255--0.19563049)×2.15338527717046e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15338527717046e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15338527717046e-05×40589641000000     		ar = 67112.0828780406m²