Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61454 / 53255
↖ ↑ ↗
← N 31.935848°
W 11.211548°		 ← 259.14 m → N 31.935848°
W 11.208801°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
N 31.933517°
W 11.211548°		 ← 259.15 m →
67 163 m²		 N 31.933517°
W 11.208801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468860626220703 y=0.406307220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468860626220703 × 217)
    floor (0.468860626220703 × 131072)
    floor (61454.5)     		tx = 61454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406307220458984 × 217)
    floor (0.406307220458984 × 131072)
    floor (53255.5)     		ty = 53255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61454 / 53255 ti = "17/61454/53255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61454/53255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61454 ÷ 217
    61454 ÷ 131072     		x = 0.468856811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53255 ÷ 217
    53255 ÷ 131072     		y = 0.406303405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468856811523438 × 2 - 1) × π
    -0.062286376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19567842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406303405761719 × 2 - 1) × π
    0.187393188476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.58871306423391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19567842} λ = -0.19567842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58871306423391))-π/2
    2×atan(1.80166829142994)-π/2
    2×1.064091008873-π/2
    2.128182017746-1.57079632675     		φ = 0.55738569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19567842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.211548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55738569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.935848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61454 KachelY 53255 -0.19567842 0.55738569 -11.211548 31.935848
    Oben rechts KachelX + 1 61455 KachelY 53255 -0.19563049 0.55738569 -11.208801 31.935848
    Unten links KachelX 61454 KachelY + 1 53256 -0.19567842 0.55734501 -11.211548 31.933517
    Unten rechts KachelX + 1 61455 KachelY + 1 53256 -0.19563049 0.55734501 -11.208801 31.933517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55738569-0.55734501) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55738569-0.55734501) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19567842--0.19563049) × cos(0.55738569) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848640899490299 × 6371000     		do = 259.142707809392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19567842--0.19563049) × cos(0.55734501) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.8486624172632 × 6371000     		du = 259.149278520206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55738569)-sin(0.55734501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848640899490299-0.8486624172632)×R²
    abs(-0.19563049--0.19567842)×2.15177729009364e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15177729009364e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15177729009364e-05×40589641000000     		ar = 67163.4579105997m²