Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61453 / 53277
↖ ↑ ↗
← N 31.884554°
W 11.214294°		 ← 259.34 m → N 31.884554°
W 11.211548°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
N 31.882222°
W 11.214294°		 ← 259.35 m →
67 248 m²		 N 31.882222°
W 11.211548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468852996826172 y=0.406475067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468852996826172 × 217)
    floor (0.468852996826172 × 131072)
    floor (61453.5)     		tx = 61453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406475067138672 × 217)
    floor (0.406475067138672 × 131072)
    floor (53277.5)     		ty = 53277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61453 / 53277 ti = "17/61453/53277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61453/53277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61453 ÷ 217
    61453 ÷ 131072     		x = 0.468849182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53277 ÷ 217
    53277 ÷ 131072     		y = 0.406471252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468849182128906 × 2 - 1) × π
    -0.0623016357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19572636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406471252441406 × 2 - 1) × π
    0.187057495117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.587658452442268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19572636} λ = -0.19572636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587658452442268))-π/2
    2×atan(1.79976923236623)-π/2
    2×1.06364339074137-π/2
    2.12728678148273-1.57079632675     		φ = 0.55649045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19572636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.214294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55649045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.884554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61453 KachelY 53277 -0.19572636 0.55649045 -11.214294 31.884554
    Oben rechts KachelX + 1 61454 KachelY 53277 -0.19567842 0.55649045 -11.211548 31.884554
    Unten links KachelX 61453 KachelY + 1 53278 -0.19572636 0.55644975 -11.214294 31.882222
    Unten rechts KachelX + 1 61454 KachelY + 1 53278 -0.19567842 0.55644975 -11.211548 31.882222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55649045-0.55644975) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55649045-0.55644975) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19572636--0.19567842) × cos(0.55649045) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.84911411391707 × 6371000     		do = 259.341306587546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19572636--0.19567842) × cos(0.55644975) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849135611338346 × 6371000     		du = 259.347872453347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55649045)-sin(0.55644975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84911411391707-0.849135611338346)×R²
    abs(-0.19567842--0.19572636)×2.14974212758845e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14974212758845e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14974212758845e-05×40589641000000     		ar = 67247.9742686544m²