Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61429 / 53291
↖ ↑ ↗
← N 31.851898°
W 11.280213°		 ← 259.43 m → N 31.851898°
W 11.277466°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 31.849565°
W 11.280213°		 ← 259.44 m →
67 305 m²		 N 31.849565°
W 11.277466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468669891357422 y=0.406581878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468669891357422 × 217)
    floor (0.468669891357422 × 131072)
    floor (61429.5)     		tx = 61429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406581878662109 × 217)
    floor (0.406581878662109 × 131072)
    floor (53291.5)     		ty = 53291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61429 / 53291 ti = "17/61429/53291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61429/53291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61429 ÷ 217
    61429 ÷ 131072     		x = 0.468666076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53291 ÷ 217
    53291 ÷ 131072     		y = 0.406578063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468666076660156 × 2 - 1) × π
    -0.0626678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19687685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406578063964844 × 2 - 1) × π
    0.186843872070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.586987335847588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19687685} λ = -0.19687685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586987335847588))-π/2
    2×atan(1.7985617825829)-π/2
    2×1.06335841296339-π/2
    2.12671682592678-1.57079632675     		φ = 0.55592050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19687685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.280213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55592050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.851898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61429 KachelY 53291 -0.19687685 0.55592050 -11.280213 31.851898
    Oben rechts KachelX + 1 61430 KachelY 53291 -0.19682891 0.55592050 -11.277466 31.851898
    Unten links KachelX 61429 KachelY + 1 53292 -0.19687685 0.55587978 -11.280213 31.849565
    Unten rechts KachelX + 1 61430 KachelY + 1 53292 -0.19682891 0.55587978 -11.277466 31.849565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55592050-0.55587978) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55592050-0.55587978) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19687685--0.19682891) × cos(0.55592050) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849415028961592 × 6371000     		do = 259.433213787696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19687685--0.19682891) × cos(0.55587978) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849436517236074 × 6371000     		du = 259.439776859831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55592050)-sin(0.55587978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849415028961592-0.849436517236074)×R²
    abs(-0.19682891--0.19687685)×2.14882744822287e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14882744822287e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14882744822287e-05×40589641000000     		ar = 67304.8628138882m²