Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61424 / 53301
↖ ↑ ↗
← N 31.828565°
W 11.293945°		 ← 259.50 m → N 31.828565°
W 11.291198°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 31.826232°
W 11.293945°		 ← 259.51 m →
67 322 m²		 N 31.826232°
W 11.291198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468631744384766 y=0.406658172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468631744384766 × 217)
    floor (0.468631744384766 × 131072)
    floor (61424.5)     		tx = 61424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406658172607422 × 217)
    floor (0.406658172607422 × 131072)
    floor (53301.5)     		ty = 53301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61424 / 53301 ti = "17/61424/53301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61424/53301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61424 ÷ 217
    61424 ÷ 131072     		x = 0.4686279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53301 ÷ 217
    53301 ÷ 131072     		y = 0.406654357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406654357910156 × 2 - 1) × π
    0.186691284179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.586507966851387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19711653} λ = -0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586507966851387))-π/2
    2×atan(1.79769981444349)-π/2
    2×1.06315479560002-π/2
    2.12630959120005-1.57079632675     		φ = 0.55551326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55551326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.828565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61424 KachelY 53301 -0.19711653 0.55551326 -11.293945 31.828565
    Oben rechts KachelX + 1 61425 KachelY 53301 -0.19706859 0.55551326 -11.291198 31.828565
    Unten links KachelX 61424 KachelY + 1 53302 -0.19711653 0.55547254 -11.293945 31.826232
    Unten rechts KachelX + 1 61425 KachelY + 1 53302 -0.19706859 0.55547254 -11.291198 31.826232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55551326-0.55547254) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55551326-0.55547254) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19711653--0.19706859) × cos(0.55551326) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849629869416333 × 6371000     		do = 259.498831592717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19711653--0.19706859) × cos(0.55547254) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849651343603166 × 6371000     		du = 259.505390362121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55551326)-sin(0.55547254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849629869416333-0.849651343603166)×R²
    abs(-0.19706859--0.19711653)×2.14741868321822e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14741868321822e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14741868321822e-05×40589641000000     		ar = 67321.8852940227m²