Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61422 / 53293
↖ ↑ ↗
← N 31.847232°
W 11.299439°		 ← 259.45 m → N 31.847232°
W 11.296692°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 31.844899°
W 11.299439°		 ← 259.45 m →
67 308 m²		 N 31.844899°
W 11.296692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468616485595703 y=0.406597137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468616485595703 × 217)
    floor (0.468616485595703 × 131072)
    floor (61422.5)     		tx = 61422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406597137451172 × 217)
    floor (0.406597137451172 × 131072)
    floor (53293.5)     		ty = 53293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61422 / 53293 ti = "17/61422/53293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61422/53293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61422 ÷ 217
    61422 ÷ 131072     		x = 0.468612670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53293 ÷ 217
    53293 ÷ 131072     		y = 0.406593322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468612670898438 × 2 - 1) × π
    -0.062774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19721241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406593322753906 × 2 - 1) × π
    0.186813354492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.586891462048348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19721241} λ = -0.19721241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586891462048348))-π/2
    2×atan(1.79838935589737)-π/2
    2×1.06331769361034-π/2
    2.12663538722068-1.57079632675     		φ = 0.55583906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19721241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.299439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55583906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.847232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61422 KachelY 53293 -0.19721241 0.55583906 -11.299439 31.847232
    Oben rechts KachelX + 1 61423 KachelY 53293 -0.19716447 0.55583906 -11.296692 31.847232
    Unten links KachelX 61422 KachelY + 1 53294 -0.19721241 0.55579834 -11.299439 31.844899
    Unten rechts KachelX + 1 61423 KachelY + 1 53294 -0.19716447 0.55579834 -11.296692 31.844899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55583906-0.55579834) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dl = 259.42712000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55583906-0.55579834) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dr = 259.42712000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19721241--0.19716447) × cos(0.55583906) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.84945800410209 × 6371000     		do = 259.446339501784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19721241--0.19716447) × cos(0.55579834) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849479489559604 × 6371000     		du = 259.452901713544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55583906)-sin(0.55579834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84945800410209-0.849479489559604)×R²
    abs(-0.19716447--0.19721241)×2.14854575140144e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14854575140144e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14854575140144e-05×40589641000000     		ar = 67308.2678688754m²