Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61422 / 53292
↖ ↑ ↗
← N 31.849565°
W 11.299439°		 ← 259.44 m → N 31.849565°
W 11.296692°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 31.847232°
W 11.299439°		 ← 259.45 m →
67 307 m²		 N 31.847232°
W 11.296692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468616485595703 y=0.406589508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468616485595703 × 217)
    floor (0.468616485595703 × 131072)
    floor (61422.5)     		tx = 61422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406589508056641 × 217)
    floor (0.406589508056641 × 131072)
    floor (53292.5)     		ty = 53292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61422 / 53292 ti = "17/61422/53292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61422/53292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61422 ÷ 217
    61422 ÷ 131072     		x = 0.468612670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53292 ÷ 217
    53292 ÷ 131072     		y = 0.406585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468612670898438 × 2 - 1) × π
    -0.062774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19721241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406585693359375 × 2 - 1) × π
    0.18682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586939398947968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19721241} λ = -0.19721241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586939398947968))-π/2
    2×atan(1.79847556717374)-π/2
    2×1.06333805354437-π/2
    2.12667610708874-1.57079632675     		φ = 0.55587978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19721241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.299439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55587978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.849565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61422 KachelY 53292 -0.19721241 0.55587978 -11.299439 31.849565
    Oben rechts KachelX + 1 61423 KachelY 53292 -0.19716447 0.55587978 -11.296692 31.849565
    Unten links KachelX 61422 KachelY + 1 53293 -0.19721241 0.55583906 -11.299439 31.847232
    Unten rechts KachelX + 1 61423 KachelY + 1 53293 -0.19716447 0.55583906 -11.296692 31.847232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55587978-0.55583906) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55587978-0.55583906) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19721241--0.19716447) × cos(0.55587978) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849436517236074 × 6371000     		do = 259.439776859831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19721241--0.19716447) × cos(0.55583906) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.84945800410209 × 6371000     		du = 259.446339501784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55587978)-sin(0.55583906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849436517236074-0.84945800410209)×R²
    abs(-0.19716447--0.19721241)×2.14868660158851e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14868660158851e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14868660158851e-05×40589641000000     		ar = 67306.5653972268m²